《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第四章-第3讲-平面向量的数量积及应用举例.docx
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1、第3讲平面对量的数量积及应用举例1平面对量的数量积平面对量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,把数量|a|b|cos_叫做a和b的数量积(或内积),记作ab即ab|a|b|cos_,规定0a0.2向量数量积的运算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc3平面对量数量积的有关结论已知非零向量a(x1,y1),b(x2,y2)性质几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|做一做1(2022高考湖北卷)设向量a(3,3),b(1,1)若(ab)(ab),
2、则实数_解析:由题意得,(ab)(ab)0,即a22b218220,解得3.答案:32(2022高考江西卷)已知单位向量e1,e2的夹角为,且cos ,若向量a3e12e2,则|a|_解析:|a|2aa(3e12e2)(3e12e2)9|e1|212e1e24|e2|29121149.|a|3.答案:31辨明三个易误点(1)0与实数0的区分:0a00,a(a)00,a000;0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系(2)ab0不能推出a0或b0,由于ab0时,有可能ab.(3)abac(a0)不能推出bc,即消去律不成立2有关向量夹角的两个结论(1)两个
3、向量a与b的夹角为锐角,则有ab0,反之不成立(由于夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有ab0,反之不成立(由于夹角为时不成立)做一做3已知向量a,b和实数,则下列选项中错误的是()A|a|B|ab|a|b|C(ab)ab D|ab|a|b|解析:选B.|ab|a|b|cos |,只有a与b共线时,才有|ab|a|b|,可知选项B是错误的4(2021湖北武汉调研)已知向量a,b满足|a|3,|b|2,且a(ab),则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析:选D.a(ab)a(ab)a2ab|a|2|a|b|cosa,b0,故cosa,b,故所求夹角为._平面对量数量积
4、的运算_(1)(2021沧州模拟)已知平面对量a(x1,y1),b(x2,y2),若|a|2,|b|3,ab6,则的值为()A.BC. D(2)(2022高考江苏卷) 如图,在平行四边形ABCD中,已知AB8,AD5,3,2,则的值是_ 解析(1)由已知得,向量a(x1,y1)与b(x2,y2)反向,3a2b0,即3(x1,y1)2(x2,y2)(0,0),得x1x2,y1y2,故.(2)由3,得,.由于2,所以2,即222.又由于225,264,所以22.答案(1)B(2)22规律方法向量数量积的两种运算方法:(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab|a|b|cosa,b(2)
5、当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应机敏选择相应公式求解1.(1)(2021高考湖北卷)已知点A(1,1),B(1,2),C(2,1),D(3,4),则向量在方向上的投影为()A. B.C D(2)(2021贵阳市适应性考试)如图,在矩形ABCD中,AB,BC2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是()A. B2C0 D1(3)(2021广东梅州模拟)已知向量(2,2),(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则P点的坐标是()A(3,0) B(2,0)C(3,
6、0) D(4,0)解析:(1)选A.由已知得(2,1),(5,5),因此在方向上的投影为.(2)选A.,()|,|1,|1,()()(1)1222,故选A.(3)选C.设P点坐标为(x,0),则(x2,2),(x4,1)(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21.当x3时,有最小值1.点P坐标为(3,0)_平面对量的夹角与模(高频考点)_平面对量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选择题、填空题,难度适中,属中档题高考对平面对量的夹角与模的考查常有以下四个命题角度:(1)求两向量的夹角;(2)求向量的模;(3)两向量垂直;(4)求参数值或范围(1)(2022高考重庆卷)已知向
7、量a(k,3),b(1,4),c(2,1),且(2a3b)c,则实数k()A B0C3 D.(2)(2022高考江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos ,向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为,则cos _(3)已知点G是ABC的重心,BAC120,2,则| 的最小值为_解析(1)由于a(k,3),b(1,4),所以2a3b2(k,3)3(1,4)(2k3,6)由于(2a3b)c,所以(2a3b)c(2k3,6)(2,1)2(2k3)60,解得k3.故选C.(2)|a| 3,|b| 2,ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128,cos .(3)由于BAC12
8、0,2,所以|cos(180120)2,所以|4.由于点G是ABC的重心,所以()(),所以|2(222)(224)(2|4)(244),当且仅当|AB|AC|时等号成立故|的最小值为.答案(1)C(2)(3)规律方法1.利用数量积求解长度的处理方法:(1)|a|2a2aa;(2)|ab|2a22abb2;(3)若a(x,y),则|a|.2求两个非零向量的夹角时要留意:(1)向量的数量积不满足结合律;(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明两个向量的夹角为直角;数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角2.(1)(2021忻州市高三第一次联考)已知向量a
9、(a2b)0,|a|2,|b|2,则向量a,b的夹角为()A. B.C. D.(2)(2021云南省昆明三中、玉溪一中统一考试)在ABC中,设222,那么动点M的轨迹必通过ABC的()A垂心 B内心C外心 D重心(3)(2021北京海淀区期中考试)已知ABC是正三角形,若a与向量的夹角大于90,则实数的取值范围是_解析:(1)设是a与b的夹角,由a(a2b)0,可得|a|22ab0.依据向量数量积的定义及已知条件,得22222cos 0,cos ,.(2)设BC边的中点为D,222,()()2,即,0,MDBC,MD为BC的垂直平分线,动点M的轨迹必通过ABC的外心,故选C.(3)由于与向量的
10、夹角大于90,所以()0,即|2|cos 602.答案:(1)B(2)C(3)2_向量数量积的综合应用_(2021高考辽宁卷)设向量a(sin x,sin x),b(cos x,sin x),x0,(1)若|a|b|,求x的值;(2)设函数f(x)ab,求f(x)的最大值解(1)由|a|2(sin x)2sin2x4sin2x,|b|2cos2xsin2x1,及|a|b|,得4sin2x1.又x0,从而sin x,所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin(2x),当x0,时,sin(2x)取最大值1.所以f(x)的最大值为.若本例变为:已知向量a(
11、cos ,sin ),b(cos ,sin ),0,c(0,1),若abc,求,的值解:由于ab(cos cos ,sin sin )(0,1),所以由此得,cos cos (),由0,得0.又0,所以,.规律方法平面对量与三角函数的综合问题:(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等3.(2021广州海珠区高三入学摸底考试)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m(c
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