2021高中数学北师大版选修1-1学案：《充分条件与必要条件》.docx

第2课时　充分条件与必要条件

1.理解充分条件和必要条件的含义.
2.会推断两个条件间的充分必要关系.
3.能利用条件间的充分必要关系求参数的取值范围.

函数y=xcos x+sin x的图像大致为(　　).

图像分析题是高考中比较常见的一种试题,做这类题的主要思想是排解法,从解析式结合图像我们很简洁找到三个角度来排解,一是利用函数是奇函数可以排解B,二是利用x=π2时,y=1,可以排解C,三是利用x=π时,y=-π,可以排解A,所以答案选D.

问题1: 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作　　　　　, 并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件. 
依据上述情境,结合充分条件、必要条件的定义我们用充分和必要进行填空:
(1)“图像关于原点对称”是“该图像是函数y=xcos x+sin x 的图像”的　　　　条件; 
(2)“ y=f(x)的图像是y=xcos x+sin x 的图像”是“f(π2)>0”的　　　　条件; 
(3)“ f(π)>0”是“y=f(x)的图像不是y=xcos x+sin x 的图像”的　　　　条件. 
问题2:p与q的推出状况和p与q的充分、必要性有何联系?
(1)若　　　　　　　　　　,则p是q的充分不必要条件; 
(2)若　　　　　　　　　　,则p是q的必要不充分条件; 
(3)若　　　　　　　　,则p是q的充要条件; 
(4)若　　　　　　　　,则p是q的既不充分也不必要条件. 

　　问题3:如何从集合的角度理解充分条件、必要条件和充要条件?
建立与p、q相应的集合,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)}.
集合A与B的关系
Venn图表示法
若A⊆B,则p是q的　　　　　　,若A⫋B,则p是q的　　　　　　　　 

若B⊆A,则p是q的　　　　　　,若B⫋A,则p是q的　　　　　　　 

若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的　　　　　　,也不是q的　　　　　　 

若A⊆B且B⊆A,即A=B,则p是q的　　　　　　 

1.在下列电路图中,表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是(　　 ).

2.在△ABC中,“sin A>32”是“A>π3”的(　　 ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知q是等比数列{an}的公比,则“q<1”是“数列{an}是递减数列”的　　　　　条件. 
4.指出下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:∠A=∠B,q:∠A和∠B是对顶角.
(2)p:x=1,q:x2=1.

充分条件、必要条件、充要条件的推断
分析下面的各组命题中p是q的什么条件.(从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个)
(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B.
(2)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B.

依据充分条件、必要条件求参数的取值范围
已知p:A={x∈R|x2+ax+1≤0},q:B={x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

充要条件的探求与证明
已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的根的充要条件.

推断下列各题中p是q的什么条件.
(1)p:a>b,q:a>b.
(2)p:a>b,q:2a>2b-1.
(3)p:△ABC中,∠A≠60°,q:sin A≠32.

已知命题p:1-c<x<1+c(c>0),命题q:x>7或x<-1,并且p是q的既不充分又不必要条件,则c的取值范围是　　　　. 

求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.

1.设集合A,B,则“A⊆B”是“A∩B=A成立”的(　　 ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知平面α,β,直线m⊂平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的(　　 ).
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.设有如下三个命题:
甲: m∩l=A,m,l⊂α,m,l⊄β;
乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交;
丙:平面α与平面β相交.
当甲成立时,乙是丙的　　　　条件. 

4.推断下列各题中p是q的什么条件.
(1)p:a>0且b>0, q:ab>0.
(2)p:xy>1, q:x>y.

　　(2021年·安徽卷)“(2x-1)x=0”是“x=0”的(　　).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
　　考题变式(我来改编):

第2课时　充分条件与必要条件
学问体系梳理
问题1:p⇒q　(1)必要　(2)充分　(3)充分
问题2:(1)p⇒q,且q⇒/ p　(2)p⇒/ q,且q⇒p　(3)p⇒q,且q⇒p　(4)p⇒/ q,且q⇒/ p
问题3:充分条件　充分不必要条件　必要条件　必要不充分条件　充分条件　必要条件　充要条件
基础学习沟通
1.B　开关A闭合,灯泡B不肯定亮,灯泡B亮,开关A肯定闭合.
2.A　∵在△ABC中,sin A>32,则A∈(π3,2π3),∴“sin A>32”是“A>π3”的充分条件.∵在△ABC中,取A=5π6,但不能推出sin A>32,∴“sin A>32”不是“A>π3”的必要条件.故选A.
3.必要不充分　由数列{an}是递减数列可得0<q<1,因此“q<1” 是“数列{an}是递减数列”的必要不充分条件.
4.解:(1)∵p⇒/ q且q⇒p,
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵q:x2=1⇔x=1或x=-1,
∴x=1⇒x2=1,但x2=1⇒/ x=1,
∴p是q的充分不必要条件.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)在△ABC中,∠A=∠B⇒sin A=sin B,反之,若sin A=sin B,由于A与B不行能互补(由于三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.
(2)明显x∈A∪B不肯定有x∈B,但x∈B肯定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.
【小结】在推断p是q的什么条件时,精确     理解和运用充分条件、必要条件、充要条件的定义是关键,而能综合、机敏地运用已学的学问是难点,故当学问点不能娴熟运用时,就简洁消灭思维受阻的现象.
　　探究二:【解析】B={x∈R|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},
∵p是q的充分不必要条件,
∴p⇒q,即A⫋B,
可知A=⌀或方程x2+ax+1=0的两根要在区间[1,2]内,
∴Δ=a2-4<0或Δ≥0,1≤-a2≤2,4+2a+1≥0,1+a+1≥0,得-2≤a<2.
【小结】p是q的充分不必要条件,利用真子集关系求解.本题易错的地方是解不等式组,请认真体会缘由.
　　探究三:【解析】(法一)设两根为x1, x2,则有
x1+x2>2,x1·x2>1,即-(2k-1)>2,k2>1,解得k<-1,
∴所求充要条件为k<-1.
(法二)由题意,设两根为x1, x2,应有
Δ≥0,x1+x2>2,x1·x2>1,即(2k-1)2-4k2≥0,-(2k-1)>2,k2>1,解得k<-1,
∴所求充要条件为k<-1.
[问题]使方程有两个大于1的根的充要条件是k<-1吗?
[结论]问题的实质是确定所给方程的两根都大于1时k应满足的充要条件,而上面的解析中所列的不等式组仅是两根x1、x2都大于1的必要条件,并不充分,例如,x1=1,x2=3,有x1+x2>2,x1·x2>1,但没有x1>1,x2>1.错误的本质是没有把函数、函数图像和方程三者有机结合起来,从而找出等价关系.
于是,正确解答如下:
(法一)使两根x1, x2都大于1的充要条件为
Δ≥0,(x1-1)+(x2-1)>0,(x1-1)(x2-1)>0,解得k<-2,
∴所求的充要条件为k<-2.
(法二)令f(x)=x2+(2k-1)x+k2.
∵f(x)=0的两根都大于1,
∴函数f(x)图像如图,则x1,x2都大于1的充要条件为

Δ≥0,f(1)>0⇒k2+2k>0,-2k-12>1,
解得k<-2,
∴所求的充要条件是k<-2.
【小结】(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.(2)留意利用转化的方法理解充分必要条件:若q是p的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.
思维拓展应用
应用一:(1)p⇒/ q,q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.
(2)p⇒q,q⇒/ p,∴p是q的充分不必要条件.
(3)p⇒/ q,q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.
　　应用二:c>0　命题p对应的集合A={x|1-c<x<1+c,c>0},同理,命题q对应的集合B={x|x>7或x<-1}.由于p是q的既不充分又不必要条件,所以A∩B=⌀或A不是B的子集且B不是A的子集,所以1-c≥-1,1+c≤7①或1+c≥-1,1-c≤7②,解①得c≤2,解②得c≥-2,又c>0,综上所述得c>0.
　　应用三:(1)a=0适合.
(2)当a≠0时,明显方程没有零根,
若方程有两异号的实根,则必需满足1a<0,Δ=4-4a>0⇒a<0;
若方程有两个负的实根,则必需满足1a>0,-2a<0,Δ=4-4a≥0⇒0<a≤1.
综上知,若方程至少有一个负的实根,则a≤1;
反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根.
因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
基础智能检测
1.C　由A⊆B,得A∩B=A;反过来,由A∩B=A,且(A∩B)⊆B,得A⊆B.因此,“A⊆B”是“A∩B=A成立”的充要条件.
2.A　由于平面α∥平面β且直线m⊂平面α,所以直线m∥平面β,反之,当直线m∥平面β时,直线m⊂平面α,也可能平面α和平面β相交.
3.充要　由题意乙⇒丙,丙⇒乙.故当甲成立时,乙是丙的充要条件.
4.解:(1)p是q的充分不必要条件.
当a>0且b>0时,ab>0成立;
反之,当ab>0时,只要求a、b同号即可.
(2)p是q的既不充分也不必要条件.
xy>1在y>0的条件下才有x>y成立.
同理当x=2,y=-1时,xy>1不成立.
全新视角拓展
B　由(2x-1)x=0可得x=12或0,由于“x=12或0”是“x=0”的必要不充分条件,故答案选B.
思维导图构建
充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要