2020年数学文(广西用)课时作业：第三章-第一节数列的基本概念及简单表示法.docx

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课时提升作业(十三)
一、选择题
1.已知数列,,,…,,…,下面各数中是此数列中的项的是(　　)
(A) (B) (C) (D)
2.(2021·百色模拟)已知数列{an},那么对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,则a2021=(　　)
(A)4025 (B)4026 (C)4027 (D)4028
3.(2021·柳州模拟)数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是(　　)
(A)103 (B)108 (C)103 (D)108
4.(2021·兰州模拟)数列{an}中,an+1=3an+2(n∈N*),且a10=8,则a4=(　　)
(A)- (B) (C) (D)-
5.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于(　　)
(A)-165 (B)-33 (C)-30 (D)-21
6.(2022·福建高考)数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2022等
于(　　)
(A)1006 (B)2022 (C)503 (D)0
7.“λ<1”是“数列{an}为递增数列,其中an=n2-2λn(n∈N*)”的(　　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
8.(力气挑战题)定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列{an}满足:an=(n∈N*),若对任意正整数n,都有an≥ak(k∈N*)成立,则ak的值为(　　)
(A) (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题
9.数列-,,-,,…的一个通项公式可以是　　　.
10.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*),则数列{an}的通项公式是　　　　.
11.设a1=2,an+1=,bn=||,n∈N*,则数列{bn}的通项公式bn=　　　　.
12.(力气挑战题)已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=若a6=1,则m全部可能的值为　　　.
三、解答题
13.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中k是常数.求a1及an.
14.(力气挑战题)解答下列各题:
(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*),其中实数c≠0.求{an}的通项公式.
(2)数列{an}满足:a1=1,an+1=3an+2n+1(n∈N*),求{an}的通项公式.
15.已知数列{an}满足前n项和Sn=n2+1,数列{bn}满足bn=,且前n项和为Tn,设cn=T2n+1-Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2)推断数列{cn}的增减性.
16.(2022·广东高考)设数列{an}前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
(1)求a1的值.
(2)求数列{an}的通项公式.

答案解析
1.【解析】选B.∵42=6×7,故选B.
2.【解析】选C.由已知得an=2n+1,故a2021=4026+1=4027.
3.【解析】选D.依据题意结合二次函数的性质可得:
an=-2n2+29n+3=-2(n2-n)+3
=-2(n-)2+3+.
∴n=7时,a7=108为最大值.
4. 【解析】选A.由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1),所以a10+1=(a4+1)×310-4,所以a4+1=,所以a4=-.
5.【解析】选C.由已知可得a4=a2+a2=-12,
a8=a4+a4=-24,a10=a8+a2=-30.
6.【解析】选A.由于函数y=cosx的周期
T==4,a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k
=(4k-3)cos(2kπ-)+(4k-2)cos(2kπ-π)+(4k-1)cos(2kπ-)+4kcos2kπ
=(4k-3)×0+(4k-2)×(-1)+(4k-1)×0+4k×1
=2(k∈N*),
所以数列{an}的每相邻四项之和是一个常数2,所以S2022=×2=1006.故选A.
7.【解析】选A.数列{an}为递增数列,只要a1<a2<a3<…<an,依据an=n2-2λn(n∈N*)是n的二次函数,只要对称轴位于x=左侧就能保证数列是单调递增的,因此只要λ<即可,故是充分不必要条件.
8.【解析】选A.an=,==,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<(n+1)2,当n≥3时,2n2>(n+1)2,即当n≥3时,an+1>an,故数列{an}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值为.
9.【解析】正负相间使用(-1)n,观看可知第n项的分母是2n,分子比分母的值少1,故an=(-1)n.
答案:an=(-1)n
10.【思路点拨】依据an和Sn的关系转换an+1=2Sn+1(n≥1)为an+1与an的关系或者Sn+1与Sn的关系.
【解析】方法一:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2),即=3(n≥2).
又a2=2S1+1=3,
∴=3.
∴=··…·=3n-1.
∴an=3n-1.
方法二:由于an+1=Sn+1-Sn,
an+1=2Sn+1,
所以Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,
把这个关系化为Sn+1+=3(Sn+),
即=3.
∴=··…·=3n-1.
故Sn+=×3n-1=×3n,
故Sn=×3n-.
所以,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,
由n=1时a1=1也适合这个公式,知所求的数列{an}的通项公式是an=3n-1.
答案:an=3n-1
【方法技巧】an和Sn关系的应用技巧
在依据数列的通项an与前n项和的关系求解数列的通项公式时,要考虑两个方面,一个是依据Sn+1-Sn=an+1把数列中的和转化为数列的通项之间的关系;一个是依据an+1=Sn+1-Sn把数列中的通项转化为前n项和的关系,先求Sn再求an.
11.【解析】由条件得bn+1=||=||=2||=2bn且b1=4,即=2.
∴=··…·=2n-1,
所以bn=4×2n-1=2n+1.
答案:2n+1
12.【解析】依据递推式以及a1=m(m为正整数)可知数列{an}中的项都是正整数.
a6=1,若a6=,则a5=2,若a6=3a5+1,则a5=0,故只能是a5=2.
若a5=,则a4=4,若a5=3a4+1,则a4=,故只能是a4=4.
若a4=,则a3=8,若a4=3a3+1,则a3=1.
(1)当a3=8时,若a3=,则a2=16,若a3=3a2+1,则a2=,故只能是a2=16,若a2=,则a1=32,若a2=3a1+1,则a1=5.
(2)当a3=1时,若a3=,则a2=2,若a3=3a2+1,则a2=0,故只能是a2=2.
若a2=,则a1=4,若a2=3a1+1,则a1=,故只能是a1=4.
综上所述:a1的值,即m的值只能是4或5或32.
答案:4或5或32
【变式备选】已知数列{an}中,a1=,an+1=1-(n≥2),则a16=　　　.
【解析】由题可知a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,∴此数列为循环数列,a1=a4=a7=a10=a13=a16=.
答案:
13.【思路点拨】令n=1可得a1,依据an,Sn关系求an.
【解析】当n=1时,a1=S1=k+1,
n≥2时,an=Sn-Sn-1
=kn2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1(*)阅历证,n=1时,(*)式成立,∴an=2kn-k+1.
【变式备选】已知数列{an}的前n项和为Sn,若S1=1,S2=2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N*且n≥2),求该数列的通项公式.
【解析】由S1=1得a1=1,又由S2=2可知a2=1.
∵Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N*且n≥2),
∴Sn+1-Sn-2Sn+2Sn-1=0(n∈N*且n≥2),
即(Sn+1-Sn)-2(Sn-Sn-1)=0(n∈N*且n≥2),
∴an+1=2an(n∈N*且n≥2),即当n≥2时,=··…·=2n-2.
即an=2n-2.
∴数列{an}的通项公式为
an=
14.【解析】(1)由原式得=+(2n+1).令bn=,
则b1=,bn+1=bn+(2n+1),
因此对n≥2有bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=(2n-1)+(2n-3)+…+3+=n2-1+,
因此an=(n2-1)cn+cn-1,n≥2.
又当n=1时上式成立.
因此an=(n2-1)cn+cn-1,n∈N*.
(2)两端同除以2n+1得,=·+1,
即+2=(+2),
∴=.
令n=1,2,…,n-1,n-1个式子累乘得+2=×()n-1,即an=5×3n-1-2n+1.
15.【解析】(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).
∴bn=
(2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1
=++…+,
∴cn+1-cn=+-
=<0,
∴{cn}是递减数列.
16.【解析】(1)当n=1时,T1=2S1-1.
由于T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,求得a1=1.
(2)当n≥2时,Sn=Tn-Tn-1
=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]
=2Sn-2Sn-1-2n+1,所以Sn=2Sn-1+2n-1　①,
所以Sn+1=2Sn+2n+1　②,
②-①得an+1=2an+2,
所以an+1+2=2(an+2),
即=2(n≥2),
求得a1+2=3,a2+2=6,则=2.
=··…·=2n-1,
∴an+2=(a1+2)·2n-1=3×2n-1,
所以an=3·2n-1-2,n∈N*.
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