高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章-简单几何体的体积-参考教案.docx

简洁几何体的体积
一、教学目标
1、理解定积分概念形成过程的思想；
2、会依据该思想求简洁旋转体的体积问题。
二、 学法指导
本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的争辩，关键是对定积分思想的理解及机敏运用，建立起正确的数学模型，依据定积分的概念解决体积问题。
三、教学重难点：
重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简洁的旋转体的体积问题；
难点；数学模型的建立及被积函数的确定。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合
五、教学过程
（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？
（二）新课探析
问题：函数，的图像绕轴旋转一周，所得到的几何体的体积 。
典例分析
例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。求它的体积。
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（靠近）
同学阅读课本P89页分析，老师引导。
解：圆锥体的体积为

变式练习1、求曲线，直线， 与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。
答案：；
例2、如图，是常见的冰激凌的外形，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的外形，尺寸如图所示，试求其体积。
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的。
解：将其轴载面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。则， ，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：，代入求得：
∴抛物线方程为：（）
设直线AB的方程为：，代入求得：
∴直线AB的方程为：
∴所求“冰激凌”的体积为：
变式练习2
如图一，是火力发电厂烟囱示意图。它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体。烟囱最细处的直径为，最下端的直径为，最细处离地面，烟囱高，试求该烟囱占有空间的大小。（图二） （图一）
（精确到） 答案：
归纳总结：求旋转体的体积和侧面积

由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为.其侧面积为
.
求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出的表达式；2．代入公式，即可求旋转体体积的值。
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出的表达式；2．代入公式，即可求旋转体体积的值。
（四）、作业布置：
五、教后反思