2022届高考数学(文科人教A版)大一轮专项强化训练(四)平行、垂直的综合问题-.docx
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1、温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调整合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(四)平行、垂直的综合问题1.(2021济南模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADAB,ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC的中点,N为线段PB的中点,G在线段BM上,且BGGM=2.(1)求证:ABPD.(2)求证:GN平面PCD.【证明】(1)由于PA平面ABCD,所以PAAB,又由于ADAB,PAAD=A,所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以ABPD.(2)由于ABC是正三角形,且M是AC的中点,所以BMAC.在直
2、角三角形AMD中,MAD=30,所以MD=12AD.在直角三角形ABD中,ABD=30,所以AD=12BD.所以MD=14BD.又由于BGGM=2,所以BG=GD,又N为线段PB的中点,所以GNPD,又GN平面PCD,PD平面PCD,所以GN平面PCD.2.如图所示,ABCD为矩形,DA平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF平面ACE,AC和BD交于点G.(1)求证:AE平面BFD.(2)求三棱锥C-BFG的体积.【解析】(1)由题意可得G是AC的中点,由于BF平面ACE,所以BFCE,又BC=BE,所以F是CE的中点,所以FGAE,又FG平面BFD,AE平面BFD,所以AE
3、平面BFD.(2)由矩形ABCD知ADBC,由于AD平面ABE,所以BC平面ABE,所以BCAE.由于BF平面ACE,所以BFAE,又BCBF=B,所以AE平面BCE.由(1)知G是AC的中点,F是CE的中点,所以FGAE且FG=12AE=1.所以FG平面BCE.在RtBCE中,BF=12CE=CF=2,所以SCFB=1222=1.所以VC-BFG=VG-BCF=13SCFBFG=1311=13.【加固训练】(2021长春模拟)在如图所示的几何体中,ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE平面ABC,平面BCD平面ABC,BD=CD,且BDCD.(1)求证:AE平面BCD.(2)求三棱锥D
4、-BCE的体积.【解析】(1)取BC的中点M,连接DM,AM,由于BD=CD,所以DMBC,又由于平面BCD平面ABC,BC为交线,所以DM平面ABC,由于AE平面ABC,所以AEDM,又由于AE平面BCD,DM平面BCD,所以AE平面BCD.(2)由(1)知AEDM,在BCD中,CDBD,CD=BD,所以MD=12BC=1=AE,所以四边形AMDE是平行四边形,所以DEAM,且DE=AM=3,由于DM平面ABC,所以DMAM.又AMBC,BCDM=M,所以AM平面BCD,所以DE平面BCD,则VD-BCE=VE-BCD=13SBCDDE=1312BCDMDE=1312213=33.3.如图,
5、在边长为1的等边ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图所示的三棱锥A-BCF,其中BC=22.(1)证明:DE平面BCF.(2)证明:CF平面ABF.(3)当AD=23时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.【解析】(1)在等边ABC中,AD=AE,所以ADDB=AEEC,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DEBC.由于DE平面BCF,BC平面BCF,所以DE平面BCF.(2)在等边ABC中,F是BC的中点,所以AFFC,BF=CF=12.由于在三棱锥A-BCF中,BC=22,所以BC2=BF2+CF2,C
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