高中数学(北师大版)选修1-2教案：第4章-拓展资料：复数中数学思想.docx

复数中数学思想“碰头会”
数学解题讲究的是最基本思想方法，那么复数问题中主要有哪些基本的数学思想？
1．函数思想
函数思想是一种重要的数学思想，有关复数的最值问题，常通过构造函数，利用函数的性质求解．
例1　已知复数，则的最大值是______
解析：设出复数的代数形式，将问题转化为有关函数的最值问题．
设． ，，
．
，∴当时，有最大值，故选（Ｂ）．
评注：依据复数模的定义，将复数问题转化为实数问题。
2．整体思想
对于有些复数问题，若从整体上去观看、分析题设结构，充分利用复数的有关概念、共轭复数的性质与模的意义等，对问题进行整体处理，能收到简捷、明快的效果．
例2　设复数和它的共轭复数满足，求复数的值．
解析：设，将化为．
由，整体代入，得，
．
依据复数相等的充要条件，得 故．
评注：在求解过程中，充分利用共轭复数性质，整体代入可获得简捷、明快、别具一格的解法．
3．分类争辩思想
复数问题中若含有参数，经常需要依据参数的范围分类争辩．
例3　设，在内解方程．
解析：∵，，∴，　　∴为实数或纯虚数．
（1）若为实数，原方程转化为，　　解得；
（2）若为纯虚数，　　设，
于是方程转化为．
①当时，解得；
②当时，方程无解．
综上，时，，或；时，．
评注：在复数集内解含有参数的方程，根可能是实数也可能是虚数，因此需对此分类争辩．
4．数形结合思想
在处理复数问题时，机敏地运用复数的几何意义，以数思形、以形助数，可使很多问题得到直观、快捷地解决．
例4　已知虚数的模为，求的最大值．
解析：由于与为变量，且，可由已知条件得到关于与的等式，也就是动点的轨迹，再结合图1考虑的取值状况，求出最大值．
由是虚数，得，
又由，得．
这是以为圆心，为半径的圆，是圆上动点（除去）与连线的斜率，过点作圆的切线、，则斜率的最大值为．
∴的最大值为．
评注：与复数有关的最值问题通常要利用复数的几何意义。