【复习参考】2021年高考数学(理)提升演练：基本不等式.docx

2021届高三数学（理）提升演练：基本不等式

一、选择题
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为 (　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．4
C．12 D．6
2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是 (　　)
A. B．4
C. D．5
3．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是 (　　)
A．(－∞，－1] B．[3，＋∞)
C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
4．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则的 (　　)
A．最小值为8 B．最大值为8
C．最小值为 D．最大值为
5．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2<m<4 D．－4<m<2
6．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于 (　　)
A．0 B．4
C．－4 D．－2
二、填空题
7．设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)·的最小值为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数ƒ(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是____．
9．已知二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，
则＋的最小值为________．
三、解答题
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．

11．已知a，b>0，求证：＋≥.

12．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2022年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，假如不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2022年生产化妆品的设备折旧、修理等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2022年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．
(2)该企业2022年的促销费投入多少万元时， 企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

详解答案

一、选择题
1．解析：由a⊥b得a·b＝0，即(x－1,2)·(4，y)＝0.
∴2x＋y＝2.
则9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝2＝6.
当且仅当32x＝3y即x＝，y＝1时取得等号．
答案：D
2．解析：依题意得＋＝(＋)(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.
答案：C
3．解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)．
假如x>1，则log2x＋logx2≥2，
假如0<x<1，则log2x＋logx2≤－2，
∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
答案：D
4．解析：＝＝＝≤.
当且仅当＝，x＝2z时取等号．
答案：D
5．解析：∵x>0，y>0，且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即4y2＝x2，
x＝2y时取等号，又＋＝1，此时x＝4，y＝2，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.
答案：D
6．解析：由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.
答案：C
二、填空题
7．解析：(x2＋)(＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，则|xy|＝时等号成立．
答案：9
8．解析：由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，则m＞0，n＞0，n＝，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋)≥16(当且仅当m2＝，即m＝时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4.
答案：4
9．解析：由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，
因此有＝0，
从而c＝>0，
∴＋＝(＋8a)＋(＋4a2)≥2×4＋2＝10，
当且仅当，即a＝时取等号．故所求的最小值为10.
答案：10
三、解答题
10．解：(1)∵x>0，y>0，
∴xy＝2x＋8y≥2
即xy≥8，∴≥8，
即xy≥64.
当且仅当2x＝8y
即x＝16，y＝4时，“＝”成立．
∴xy的最小值为64.
(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
∴2x＋8y＝xy，即＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)·(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18
当且仅当＝，即x＝2y＝12时“＝”成立．
∴x＋y的最小值为18.
11．证明：∵＋≥2
＝2>0，a＋b≥2>0，
∴(＋)(a＋b)≥2·2＝4.
∴＋≥.
当且仅当，取等号．
即a＝b时，不等式等号成立．
12．解：(1)由题意可设3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.
∴x＝3－.
当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为32x＋3＝32(3－)＋3.
当销售x(万件)时，年销售收入为
150%[32(3－)＋3]＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y＝(t≥0)．
(2)y＝＝50－(＋)≤50－
2＝50－2＝42(万元)，
当且仅当＝，即t＝7时，ymax＝42，
∴当促销费定在7万元时，年利润最大．