【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第8章-第7节-圆锥曲线的综合问题.docx
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第八章 第七节 一、选择题 1.(文)已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点.若|F2A|+|F2B|=30,则|AB|=( ) A.16 B.18 C.22 D.20 [答案] C [解析] 由题意知,a=13,(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=52, ∵|BF2|+|AF2|=30,∴|AB|=22. (理)(2022·云南部分名校联考)P是双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,且·=0,若△F1PF2的面积是9,a+b=7,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 由·=0得∠F1PF2=90°,在△F1PF2中有|PF1|2+|PF2|2=4c2,(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|=4c2.由双曲线定义知||PF1|-|PF2||=2a,且|PF1||PF2|=18,代入得b=3,∴a=4,c=5,则离心率为. 2.(文)(2022·广东十二校联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0),过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N两点,O为坐标原点,若OM⊥ON,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 设右焦点为F,由条件可得|MF|=|OF|,所以c=,所以ca=c2-a2,整理得e2-e-1=0,解得e=.由双曲线中e>1,可得e=,故选D. (理)(2022·湖北荆门调研)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,) B.(,) C.(,2) D.(2,+∞) [答案] D [解析] 过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线y=-(x-c),与y=x联立,解得M(,).由点M在以线段F1F2为直径的圆外,得()2+()2>c2, ∴1+>4,∴e=>2. 3.(文)(2022·北京石景山统一测试)已知动点P(x,y)在椭圆C:+=1上,F为椭圆C的右焦点,若点M满足||=1且·=0,则||的最小值为( ) A. B.3 C. D.1 [答案] A [解析] 在椭圆C:+=1中,a=5,b=4,c=3, M在以F为圆心,1为半径的圆上,PM为圆的切线, 所以PF最小时,切线长最小.设P(x0,y0), 则|PM|2=|PF|2-1=(x0-3)2+y-1 =(x0-3)2+16--1 =x-6x0+24=(x0-)2-1, ∵-5≤x0≤5, ∴当x0=5时,|PM|2取到最小值3, ∴|PM|min=.. (理)已知以F1(-2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为( ) A.3 B.2 C.2 D.4 [答案] C [解析] 依据题意设椭圆方程为+=1(b>0),则将x=-y-4代入椭圆方程得, 4(b2+1)y2+8b2y-b4+12b2=0, ∵椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点, ∴Δ=(8b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0, 即(b2+4)(b2-3)=0,∴b2=3, 长轴长为2=2,故选C. 4.(文)(2021·大纲理,11)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k=( ) A. B. C. D.2 [答案] D [解析] ∵y2=8x,∴焦点坐标为(2,0), 设直线方程为y=k(x-2),与抛物线方程联立 消去y得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=,x1·x2=4, ∴y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k(x1+x2)-4k=, y1·y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=-16. ∴·=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2) =x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8==0,∴k2-4k+4=0,∴k=2. (理)(2022·辽宁省协作校三模)抛物线y2=4x的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=π,弦AB中点M在准线l上的射影为M′,则的最大值为( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 如图,由抛物线定义及条件知, |MM′|=(AA′+BB′)=(|AF|+|BF|). ∴()2= = =(1+) ≤(1+)=, ∴≤,等号成立时,|AF|=|BF|. 5.(2021·辽宁五校联考)已知点M(-3,0)、N(3,0)、B(1,0),动圆C与直线MN相切于点B,分别过点M、N且与圆C相切的两条直线相交于点P,则点P的轨迹方程为( ) A.x2-=1(x>1) B.x2-=1(x>0) C.x2-=1(x>0) D.x2-=1(x>1) [答案] A [解析] 如图,设两切线分别与圆相切于点S、T,则|PM|-|PN|=(|PS|+|SM|)-(|PT|+|TN|)=|SM|-|TN|=|BM|-|BN|=2=2a,所以所求曲线为双曲线的右支,∴a=1,c=3,∴b2=8,故点P的轨迹方程为x2-=1(x>0),由题意知,P点不行能与B点重合,∴x>1. 6.(2022·广东汕头一模)已知椭圆+=1上有一点P,F1,F2是椭圆的左、右焦点,若△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有( ) A.3个 B.4个 C.6个 D.8个 [答案] C [解析] 当∠PF1F2为直角时,依据椭圆的对称性知,这样的点P有2个;同理,当∠PF2F1为直角时,这样的点P有2个;当P点为椭圆的短轴端点时,∠F1PF2最大,且为直角,此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个. 二、填空题 7.(文)已知F是椭圆+=1(a>0,b>0)的左焦点,若椭圆上存在点P,使得直线PF与圆x2+y2=b2相切,当直线PF的倾斜角为时,此椭圆的离心率是________. [答案] [解析] 解法1:设直线PF与圆x2+y2=b2的切点为M,则依题意得OM⊥MF,∵直线PF的倾斜角为, ∴∠OFP=,∴sin==,椭圆的离心率e=====. 解法2:依题意可知PF:y=-(x+c)(c=), 又O到PF的距离为b,即=b,∴=b2=a2-c2, ∴4a2=7c2,∴e==. (理)设直线l:y=2x+2,若l与椭圆x2+=1的交点为A、B,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为-1的点P的个数为________. [答案] 3 [解析] 设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y=2x+b,代入x2+=1中消去y得,8x2+4bx+b2-4=0, 由Δ=16b2-32(b2-4)=0得,b=±2,显见y=2x+2与两轴交点为椭圆的两顶点A(-1,0),B(0,2), ∵直线y=2x+2与l距离d=, ∴欲使S△ABP=|AB|·h=h=-1,须使h=,∵d=h,∴直线y=2x+2与椭圆切点,及y=2x+4-2与椭圆交点均满足,∴这样的点P有3个. 8.(2022·山东文)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为________. [答案] y=±x [解析] 抛物线x2=2py的准线方程为y=-,与双曲线的方程联立得x2=a2(1+),依据已知得a2(1+)=c2 ①.由|AF|=c,得+a2=c2 ②.由①②可得a2=b2,即a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是y=±x. 9.直线l:x-y=0与椭圆+y2=1相交A、B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为________. [答案] [解析] 设与l平行的直线方程为x-y+a=0,当此直线与椭圆的切点为C时,△ABC的面积最大,将y=x+a代入+y2=1中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由Δ=16a2-24(a2-1)=0得,a=±,两平行直线x-y=0与x-y+=0的距离d=,将y=x代入+y2=1中得,x1=-,x2=, ∴|AB|=|-(-)|=, ∴S△ABC=|AB|·d=××=. 三、解答题 10.(文)(2022·唐山一模)P为圆A:(x+1)2+y2=8上的动点,点B(1,0).线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)当点P在第一象限,且cos∠BAP=时,求点M的坐标. [解析] (1)圆A的圆心为A(-1,0),半径等于2. 由已知|MB|=|MP|,于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2, 故曲线Γ是以A,B为焦点,以2为长轴长的椭圆,a=,c=1,b=1, 曲线Γ的方程为+y2=1. (2)由cos∠BAP=,|AP|=2,得P(,). 于是直线AP方程为y=(x+1). 由,解得5x2+2x-7=0,x1=1,x2=-. 由于点M在线段AP上,所以点M坐标为(1,). (理)过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点,当点A的纵坐标为1时,|AF|=2. (1)求抛物线C的方程; (2)若直线l的斜率为2,问抛物线C上是否存在一点M,使得MA⊥MB,并说明理由. [解析] (1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y=-的距离,∴1+=2,∴p=2, ∴抛物线C的方程为x2=4y. (2)抛物线C的焦点为F(0,1),直线l的方程y=2x+1, 设点A、B、M的坐标分别为(x1,)、(x2,)、(x0,), 由方程组消去y得,x2=4(2x+1), 即x2-8x-4=0, 由韦达定理得x1+x2=8,x1x2=-4. ∵MA⊥MB,∴·=0, ∴(x1-x0)(x2-x0)+(-)(-)=0, ∴(x1-x0)(x2-x0)+(x1-x0)(x2-x0)(x1+x0)(x2+x0)=0. ∵M不与A,B重合,∴(x1-x0)(x2-x0)≠0, ∴1+(x1+x0)(x2+x0)=0,x1x2+(x1+x2)x0+x+16=0, ∴x+8x0+12=0,∵Δ=64-48>0. ∴方程x+8x0+12=0有解,即抛物线C上存在一点M,使得MA⊥MB. 一、解答题 11.(文)(2021·山西高校附中月考)已知抛物线y2=4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点,且直线l与x轴交于点C. (1)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列; (2)设=α,=β,试问α+β是否为定值,若是,求出此定值,若不是,请说明理由. [解析] (1)证明:设直线l的方程为y=kx+2(k≠0), 联立方程得k2x2+(4k-4)x+4=0.① 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(-,0),则 x1+x2=-,x1·x2=.② ∴|MA|·|MB|=|x1-0|·|x2-0|=, 而|MC|2=(|--0|)2=, ∴|MC|2=|MA|·|MB|≠0, 即|MA|,|MC|,|MB|成等比数列. (2)由=α,=β得 (x1,y1-2)=α(-x1-,-y1),(x2,y2-2)=β(-x2-,-y2), 即得α=,β=, 则α+β=. 将②代入得α+β=-1,故α+β为定值,且定值为-1. (理)(2022·中原名校联考)已知A(1,0),P为圆F:(x+1)2+y2=16上任意一点,线段AP的垂直平分线交半径FP于点Q,当点P在圆上运动时. (1)求点Q的轨迹方程; (2)设点D(0,1),是否存在不平行于x轴的直线l与点Q的轨迹交于不同的两点M,N,使(+)·=0,若存在,求出直线l斜率的取值范围,若不存在,请说明理由. [解析] (1)依题意知:|QF|+|QA|=|PF|=4>|FA|=2,所以点Q的轨迹是以F,A为焦点的椭圆, ∴所求椭圆方程为+=1. (2)∵条件(+)·=0等价于||=||, ∴若存在符合条件的直线,该直线的斜率确定存在, 否则点D(0,1)在x轴上,冲突. ∴可设直线l:y=kx+m(k≠0), 由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 由Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0得4k2+3>m2. 设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为Q(x0,y0), 则x0==-,y0=kx0+m=. 又∵||=||, ∴=-,即=-,解得:m=-3-4k2. 由4k2+3>m2得4k2+3>(3+4k2)2, 即4k2<-2,这是不行能的. 故满足条件的直线不存在. 12.(文)(2022·湖南岳阳一模)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(-,1)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足+=0. (1)求椭圆C的方程; (2)椭圆C上任一动点N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为N1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围. [解析] (1)∵点P(-,1)在椭圆上, ∴+=1.① 又∵+=0,M在y轴上, ∴M为PF2的中点, ∴-+c=0,c=. ∴a2-b2=2,② 联立①②,解得b2=2(b2=-1舍去), ∴a2=4. 故所求椭圆C的方程是+=1. (2)∵点N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为N1(x1,y1), ∴ 解得 ∴3x1-4y1=-5x0. ∵点N(x0,y0)在椭圆C:+=1上, ∴-2≤x0≤2, ∴-10≤-5x0≤10, 即3x1-4y1的取值范围为[-10,10]. (理)(2021·浙江嵊州一中月考)设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使得+=t,求t的值及点D的坐标. [解析] (1)由题意知a=2,∴一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,∴=, ∴b2=3,∴双曲线的方程为-=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0)(x0>0), ∵+=t,∴x1+x2=tx0,y1+y2=ty0, 将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0, 则x1+x2=16,y1+y2=(x1-2)+(x2-2) =(x1+x2)-4=12, ∴∴ ∴t=4,点D的坐标为(4,3). 13.(文)如图所示,在△DEM中,⊥,=(0,-8),N在y轴上,且=(+),点E在x轴上移动. (1)求点M的轨迹方程; (2)过点F(0,1)作相互垂直的两条直线l1、l2,l1与点M的轨迹交于点A、B,l2与点M的轨迹交于点C、Q,求·的最小值. [解析] (1)设M(x,y),E(a,0),由条件知D(0,-8), ∵N在y轴上且N为EM的中点, ∴x=-a, ∵⊥,∴·=(-a,-8)·(x-a,y)=-a(x-a)-8y=2x2-8y=0,∴x2=4y(x≠0), ∴点M的轨迹方程为x2=4y(x≠0). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),Q(x4,y4),直线l1:y=kx+1(k≠0),则直线l2:y=-x+1, 由消去y得,x2-4kx-4=0, ∴x1+x2=4k,x1x2=-4, 由消去y得,x2+x-4=0, ∴x3+x4=-,x3x4=-4. ∵A、B在直线l1上,∴y1=kx1+1,y2=kx2+1, ∵C、Q在直线l2上,∴y3=-x3+1,y4=-x4+1. ∴·=(x3-x1,y3-y1)·(x2-x4,y2-y4) =(x3-x1)(x2-x4)+(y3-y1)·(y2-y4) =(x3-x1)(x2-x4)+(-x3-kx1)(kx2+x4) =x3x2-x1x2-x3x4+x1x4-x2x3-k2x1x2-x3x4-x1x4 =(-1-k2)x1x2+(-1-)x3x4=4(1+k2)+4(1+)=8+4(k2+)≥16等号在k2=时取得, 即k=±1时成立.∴·的最小值为16. (理)(2021·陕西理,20)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦长MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点. [解析] (1)如图,设动圆的圆心O1(x,y),由题意知|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H为MN的中点, ∴|O1M|2=|O1H|2+|MH|2=x2+16, 又|O1A|2=(x-4)2+y2, ∴(x-4)2+y2=x2+16,整理得y2=8x(x≠0), 当O1在y轴上时,∵|OA|=4=|MM|, ∴O1与O重合,此时点O1(0,0)也满足y2=8x, ∴动圆圆心O1的轨迹C方程为y2=8x. (2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2), 将y=kx+b代入y2=8x中, 得k2x2+(2bk-8)x+b2=0, 其中Δ=-32kb+64>0. 由根与系数的关系得,x1+x2=,① x1x2=,② 由于x轴是∠PBQ的角平分线, 所以=-, 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③ 将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b,此时Δ>0,∴直线l的方程为y=k(x-1), 即直线l过定点(1,0). 14.(文)(2021·北京东城联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构在的三角形的面积为. (1)求椭圆C的方程; (2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点. ①若线段AB中点的横坐标为-,求斜率k的值; ②若点M(-,0),求证:·为定值. [解析] (1)椭圆+=1(a>b>0)满足a2=b2+c2,=,×b×2c=,解得a2=5,b2=,则椭圆方程为+=1. (2)①将y=k(x+1)代入+=1中得, (1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0, Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)=48k2+20>0, x1+x2=-. 由于AB中点的横坐标为-,所以-=-,解得k=±. ②证明:由①知x1+x2=-,x1x2=, 所以·=(x1+,y1)(x2+,y2) =(x1+)(x2+)+y1y2 =(x1+)(x2+)+k2(x1+1)(x2+1) =(1+k2)x1x2+(+k2)(x1+x2)++k2 =(1+k2)+(+k2)(-)++k2 =++k2=. ∴·为定值. (理)(2022·吉林市二模)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率e=,A,B是椭圆上的动点. (1)求椭圆标准方程; (2)若直线OA与OB的斜率乘积kOA·kOB=-,动点P满足=+λ, (其中实数λ为常数).问是否存在两个定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求F1,F2的坐标,若不存在,说明理由; (3)若点A在第一象限,且点A,B关于原点对称,点A在x轴上的射影为C,连接BC并延长交椭圆于点D.证明:AB⊥AD. [解析] (1)由题设可知:∴a=, 又b2=a2-c2,∴b2=1, ∴椭圆标准方程为+y2=1. (2)设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 则由=+λ得, (x,y)=(x1,y1)+λ(x2,y2)=(x1+λx2,y1+λy2), 即x=x1+λx2,y=y1+λy2. 由于点A、B在椭圆x2+2y2=2上, 所以x+2y=2,x+2y=2, 故x2+2y2=(x+λ2x+2λx1x2)+2(y+λ2y+2λy1y2) =(x+2y)+λ2(x+2y)+2λ(x1x2+2y1y2) =2+2λ2+2λ(x1x2+2y1y2). 设kOA,kOB分别为直线OA,OB的斜率, 由题设条件知kOA·kOB==-, 因此x1x2+2y1y2=0, 所以x2+2y2=2+2λ2.即+=1, 所以P点是椭圆+=1上的点, 设该椭圆的左、右焦点为F1,F2, 则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值. 又因c= 因此两焦点的坐标为F1(-,0), F2(,0). 所以存在两个定点F1(-,0),F2(,0).使得|PF1|+|PF2|=2 (3)设A(x1,y1),D(x2,y2),由题设可知: x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,x1≠x2,C(x1,0),B(-x1,-y1) 由题意可知: kCB=kBD,∴= ③ kAB·kAD+1=·+1 ④ 将③代入④可得:kAB·kAD+1=·+1= ⑤ 点A,D在椭圆x2+2y2=2上, ∴kAB·kAD+1===0 ∴kAB·kAD=-1,∴AB⊥AD.- 配套讲稿:
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本文标题:【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第8章-第7节-圆锥曲线的综合问题.docx
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