高中数学(北师大版)选修2-2教案:第1章-复习点拨:利用数学归纳法解题举例.docx
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1、利用数学归纳法解题举例归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只依据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法,在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n1(或n)时成立,这是递推的基础;其次步是假设在nk时命题成立,再证明nk1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它推断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实
2、际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。这两个步骤亲热相关,缺一不行,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数(或nn且nN)结论都正确”。由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳。运用数学归纳法证明问题时,关键是nk1时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,留意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题。运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。一、 运用数学归纳法证明整除性问题例1.当nN,求证:11n+1+122n-1能被133整除。
3、证明:(1)当n=1时,111+1+12121-1=133能被133整除。命题成立。 (2)假设n=k时,命题成立,即11k+1+122k-1能被133整除,当n=k+1时, 依据归纳假设,11k+1+122k-1能被133整除。又能被133整除。所以,11(k+1)+122(k+1)-1能被133整除,即n=k+1时,命题成立。 由(1),(2)命题时nN都成立。 点评:同数学归纳法证明有关数或式的整除问题时,要充分利用整除的性质,若干个数(或整式)都能被某一个数(或整式)整除,则其和、差、积也能被这个数(或整式)整除。在由n=k时命题成立,证明n=k+1命题也成立时。要留意设法化去增加的项
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