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2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破:第11篇-第1讲-随机事件的概率.docx
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1、第1讲随机大事的概率最新考纲1了解随机大事发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义及频率与概率的区分2了解两个互斥大事的概率加法公式.知 识 梳 理1频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观看某一大事A是否消灭,称n次试验中大事A消灭的次数nA为大事A消灭的频数,称大事A消灭的比例fn(A)为大事A消灭的频率(2)对于给定的随机大事A,假如随着试验次数的增加,大事A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为大事A的概率,简称为A的概率2大事的关系与运算定义符号表示包含关系假如大事A发生,则大事B肯定发生,这时称大事B包含大事A(或称大事A包含于大事B)BA(
2、或AB)相等关系若BA且ABAB并大事(和大事)若某大事发生当且仅当大事A发生或大事B发生,称此大事为大事A与大事B的并大事(或和大事)AB(或AB)交大事(积大事)若某大事发生当且仅当大事A发生且大事B发生,则称此大事为大事A与大事B的交大事(或积大事)AB(或AB)互斥大事若AB为不行能大事,则称大事A与大事B互斥AB对立大事若AB为不行能大事,AB为必定大事,那么称大事A与大事B互为对立大事ABP(AB)P(A)P(B)13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0P(A)1.(2)必定大事的概率P(E)1.(3)不行能大事的概率P(F)0.(4)互斥大事概率的加法公式假如大事A与大事
3、B互斥,则P(AB)P(A)P(B)若大事B与大事A互为对立大事,则P(A)1P(B)辨 析 感 悟1对随机大事概念的理解(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必定大事()(2)“方程x22x80有两个实根”是不行能大事()(3)(2022广州调研C项)“下周六会下雨”是随机大事()2对互斥大事与对立大事的理解(4)对立大事肯定是互斥大事,互斥大事不肯定是对立大事()(5)(2022郑州调研B项)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张)中,任取一张,“抽取黑桃”与“抽取方块”是对立大事()3对频率与概率的理解(6)(教材练习改编)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值(
4、)(7)(教材习题改编)集合A2,3,B1,2,3,从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率为.()(8)(2022临沂调研改编)甲、乙二人下棋,甲获胜的概率是0.3,甲不输的概率为0.8,则甲、乙二人下成和棋的概率为0.5.()感悟提升两个区分一是“互斥大事”与“对立大事”的区分:对立大事是互斥大事,是互斥中的特殊状况,但互斥大事不肯定是对立大事,“互斥”是“对立”的必要不充分条件,如(5)中为互斥大事二是“频率”与“概率”:频率与概率有本质的区分,不行混为一谈频率随着试验次数的转变而变化,概率却是一个常数,它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时,频率向概率靠近,只要次数足够多,所
5、得频率就可以近似地当作随机大事的概率.同学用书第179页考点一大事的关系与运算【例1】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设大事A表示向上的一面消灭奇数点,大事B表示向上的一面消灭的点数不超过3,大事C表示向上的一面消灭的点数不小于4,则()AA与B是互斥而非对立大事BA与B是对立大事CB与C是互斥而非对立大事DB与C是对立大事解析依据互斥与对立的定义作答,AB消灭点数1或3,大事A,B不互斥更不对立;BC,BC(为必定大事),故大事B,C是对立大事答案D规律方法 对互斥大事要把握住不能同时发生,而对于对立大事除不能同时发生外,其并大事应
6、为必定大事,这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把全部试验结果写出来,看所求大事包含哪些试验结果,从而断定所给大事的关系【训练1】 对飞机连续射击两次,每次放射一枚炮弹设A两次都击中飞机,B两次都没击中飞机,C恰有一次击中飞机,D至少有一次击中飞机,其中彼此互斥的大事是_,互为对立大事的是_解析设I为对飞机连续射击两次所发生的全部状况,由于AB,AC,BC,BD.故A与B,A与C,B与C,B与D为彼此互斥大事,而BD,BDI,故B与D互为对立大事答案A与B,A与C,B与C,B与DB与D考点二随机大事的概率与频率【例2】 某小型超市发觉每天营业额Y(单位:万元)与当天进超市顾客人数X有关据统
7、计,当X700时,Y4.6;当X每增加10,Y增加0.05.已知近20天X的值为:1 400,1 100,1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600,1 900,1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600,1 900,700.(1)完成如下的频率分布表:近20天每天进超市顾客人数频率分布表人数7001 1001 4001 6001 9002 200频率(2)假定今日进超市顾客人数与近20天进超市顾客人数的分布规律相同,并将频率视为概率,求今日营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率解(1)在所给数据中
8、,进超市顾客人数为1 100的有3个,为1 600的有7个,为1 900的有3个,为2 200的有2个故近20天每天进超市顾客人数频率分布表为人数7001 1001 4001 6001 9002 200频率(2)由已知可得Y4.60.05X1.1,4.6Y10.6,4.61.110.6,700X1 900.P(4.6Y10.6)P(700X1 900)P(X1 100)P(X1 400)P(X1 600).即今日营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率为.规律方法 利用概率的统计定义求大事的概率,即通过大量的重复试验,大事发生的频率会渐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率【训练2】 某市统计
9、的20102021年新生婴儿数及其中男婴数(单位:人)见下表:时间2010年2011年2022年2021年新生婴儿数21 84023 07020 09419 982男婴数11 45312 03110 29710 242(1)试计算男婴各年的诞生频率(精确到0.001);(2)该市男婴诞生的概率约是多少?解(1)2010年男婴诞生的频率为fn(A)0.524.同理可求得2011年、2022年和2021年男婴诞生的频率分别约为0.521,0.512,0.513.(2)由以上计算可知,各年男婴诞生的频率在0.510.53之间,所以该市男婴诞生的概率约为0.52.同学用书第180页考点三互斥大事、对立
10、大事的概率【例3】 (2022洛阳模拟)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?审题路线(1)分别求等候人数为0人、1人、2人的概率依据互斥大事的概率求和公式可求(2)思路一:分别求等候人数为3人、4人、5人及5人以上的概率依据互斥大事的概率求和公式可得思路二:转化为求其对立大事的概率依据P(A)1P()可求解记“无人排队等候”为大事A,“1人排队等候”为大事B,“2人排队等候”为大事C,“3人排队等候”为大事D,“4人排队等候
11、”为大事E,“5人及5人以上排队等候”为大事F,则大事A,B,C,D,E,F互斥(1)记“至多2人排队等候”为大事G,则GABC,所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一记“至少3人排队等候”为大事H,则HDEF,所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二记“至少3人排队等候”为大事H,则其对立大事为大事G,所以P(H)1P(G)0.44.规律方法 求简单的互斥大事的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求大事的概率分解为一些彼此互斥的大事的概率的和,运用互斥大事的求和公式计算二是间接求法,先求此大事的对
12、立大事的概率,再用公式P(A)1P(),即运用逆向思维(正难则反),特殊是“至多”,“至少”型题目,用间接求法就显得较简便【训练3】 一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率解法一(利用互斥大事求概率)记大事A1任取1球为红球,A2任取1球为黑球,A3任取1球为白球,A4任取1球为绿球,则P(A1),P(A2),P(A3),P(A4).依据题意知,大事A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥大事的概率公式,得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2);(2
13、)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).法二(利用对立大事求概率)(1)由法一知,取出1球为红球或黑球的对立大事为取出1球为白球或绿球,即A1A2的对立大事为A3A4,所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)由于A1A2A3的对立大事为A4,所以P(A1A2A3)1P(A4)1.1对于给定的随机大事A,由于大事A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估量概率P(A)2从集合角度理解互斥和对立大事从集合的角度看,几个大事彼此互斥,是指由各个大事所含的结
14、果组成的集合彼此的交集为空集,大事A的对立大事所含的结果组成的集合,是全集中由大事A所含的结果组成的集合的补集创新突破11全面突破概率与其它学问的综合问题【典例】 (2021新课标全国卷)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元依据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品以X(单位: t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将T表示为X的函数;(2)依据直方图估量利润T不少于57 000元的
15、概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X100,110),则取X105,且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率)求T的数学期望突破1:购进130 t农产品全部售出还是有剩余是解题的关键;突破2:T为X的函数是分段函数;突破3:由函数求得利润T不少于57 000元时的X的范围;突破4:依据直方图估量概率;突破5:找出全部的T的取值,列出分布列,求出数学期望解(1)当X100,130)时,T500X300(130X)800X39 000.当X130,150时,T50013065 00
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