2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破:第8篇-第8讲-曲线与方程.docx
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1、第8讲曲线与方程最新考纲1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2了解解析几何的基本思想和利用坐标法争辩曲线的简洁性质3能够依据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.知 识 梳 理1曲线与方程一般地,在平面直角坐标系中,假如某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)(3)用坐标表示条件p(M),列出方
2、程f(x,y)0,并化简(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x,y)0,曲线C2的方程为F2(x,y)0,则C1,C2的交点坐标即为方程组的实数解若此方程组无解,则两曲线无交点辨 析 感 悟1曲线与方程的概念(1)f(x0,y0)0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)0上的充要条件()(2)条件甲:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)0的解”,条件乙:“曲线C是方程f(x,y)0的图形”,则条件甲是条件乙的充要条件()(3)(教材习题改编)方程y与xy2表示同一曲线()(4)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()2求曲线的轨迹方程(5)
3、到两条相互垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2. ()(6)两条动直线yxb,y2xb(bR)交点的轨迹方程是3x2y0.()(7)已知点F,直线l:x,点B是l上的动点若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是抛物线()(8)(2022济南质检)过椭圆1(ab0)上任意一点M作x轴的垂线,垂足为N,则线段MN中点的轨迹方程是1.()感悟提升1曲线与曲线的方程是两个不同概念,曲线的方程需满足两个条件:一是曲线上点的坐标都是该方程的解;二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点如(2)错误理解了曲线方程的含义2求轨迹方程,要留意曲线上的点与方程的解是一一对应关系,
4、检验应从两个方面进行:一是方程的化简是否是同解变形;二是是否符合实际意义,留意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.同学用书第154页考点一直接法求轨迹方程【例1】 如图所示,A(m,m)和B(n,n)两点分别在射线OS,OT上移动,且,O为坐标原点,动点P满足.(1)求mn的值;(2)求动点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?解(1)由(m,m)(n,n)2mn.得2mn,mn.(2)设P(x,y)(x0),由,得(x,y)(m,m)(n,n)(mn,mn)整理得x24mn,又mn,P点的轨迹方程为x21(x0)它表示以原点为中心,焦点在x轴上,实轴长为2,焦距为4的双曲线x21的右
5、支规律方法 (1)一是解本题第(2)时,依据利用第(1)问的结论消去m,n得到轨迹方程是解题的关键;二是求点的轨迹时,要明确题设的隐含条件,如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支(2)假如动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系,而该等量关系又易于表达成含x,y的等式,可利用直接法求轨迹方程【训练1】 (2021陕西卷选编)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程解如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,|O1A|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于H,则H是MN的中点|O1M|,又|O1A|,化简得y28x
6、(x0)当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x,动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.考点二定义法(待定系数法)求轨迹方程【例2】 一动圆与圆x2y26x50外切,同时与圆x2y26x910内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么曲线解如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为O1,O2,将圆的方程分别配方得(x3)2y24,(x3)2y2100,当动圆与圆O1相外切时,有|O1M|R2.当动圆与圆O2相内切时,有|O2M|10R.将两式相加,得|O1M|O2M|12|O1O2|,动圆圆心M(x,y)到点O1(3,0)和O2(3,0)的
7、距离和是常数12,所以点M的轨迹是焦点为O1(3,0),O2(3,0),长轴长等于12的椭圆2c6,2a12,c3,a6,b236927,圆心轨迹方程为1,轨迹为椭圆规律方法 求轨迹方程时,若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可以直接依据定义先定轨迹类型,再写出其方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法,其关键是精确应用解析几何中有关曲线的定义【训练2】 如图所示,已知C为圆(x)2y24的圆心,点A(,0),P是圆上的动点,点Q在直线CP上,且0,2.当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程解圆(x)2y24的圆心为C(,0),半径r2,0,2,MQAP,点M是线段A
8、P的中点,即MQ是AP的中垂线,连接AQ,则|AQ|QP|,|QC|QA|QC|QP|CP|r2,又|AC|22,依据双曲线的定义,点Q的轨迹是以C(,0),A(,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,由c,a1,得b21,因此点Q的轨迹方程为x2y21.同学用书第155页考点三代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】 (2022辽宁卷)如图,动圆C1:x2y2t2,1t3,与椭圆C2:y21相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程审题路线(1)设出点A的坐标利用对称性表示
9、S矩形ABCD,并确定矩形ABCD面积取得最大值的条件进而求出t值(2)点M受点A的变化制约依据点A满足的方程求出点M的轨迹方程解(1)设A(x0,y0),则S矩形ABCD4|x0y0|,由y1得y1,从而xyx2.当x,y时,Smax6.从而t2xy5,t,当t时,矩形ABCD的面积取到最大值6.(2)由椭圆C2:y21,知A1(3,0),A2(3,0),又曲线的对称性及A(x0,y0),得B(x0,y0),设点M的坐标为(x,y),直线AA1的方程为y(x3)直线A2B的方程为y(x3)由得y2(x29)又点A(x0,y0)在椭圆C上,故y1.将代入得y21(x3,y0)因此点M的轨迹方程
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