2021高中数学北师大版选修2-3学案：《分类加法计数原理》.docx

第1课时　分类加法计数原理

1.理解分类加法计数原理.
2.能利用分类加法计数原理分析和解决一些简洁的应用问题.
3.过程与方法:引导同学形成 “自主学习”“合作学习”等良好的学习方式,培育同学的归纳概括力量.

在一次 “格外6+1”节目中,主持人拿出甲、乙两个信箱,其中甲箱存放着5个、乙箱存放着4个在竞猜中成果优秀的选手的姓名,主持人要在两个信箱中抽取一名幸运选手,有多少种不同的结果?要正确回答这个问题,就要用到我们今日所要学习的学问.

问题1: 完成一件事有两类不同方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在其次类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=　　　　　　种不同的方法. 
问题2:分类加法计数原理
做一件事情,完成它可以有n类不同的方法,在第一类方法中有m1种不同的方法,在其次类方法中有m2种不同的方法,…,在第n类方法中有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=　　　　种不同的方法. 
问题3:理解分类加法计数原理
分类加法计数原理针对的是“　　　　”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法　　　　,各类中的各种方法也　　　　　　,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 
问题4:利用分类加法计数原理解题时要留意的问题
(1)依据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要　　　　,不能遗漏. 
(2)分类时,留意完成这件事情的任何一种方法必需属于某一类,不能　　　　.  

1.一个三层书架,分别放置语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中取出一本,则不同的取法共有(　　).
A.37种　　　　　　B.1848种　　　　　　C.3种　　　　　　D.6种
2.有A、B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床,不同的选派方法有(　　).
A.6种 B.5种 C.4种 D.3种
3.若x、y∈N+,且x+y≤6,则有序自然数对(x,y)共有　　　个. 
4.在一次 “格外6+1”节目中,主持人拿出甲、乙两个信箱,其中甲箱存放着5个、乙箱存放着4个在竞猜中成果优秀的选手的姓名,主持人要在两个信箱中抽取一名幸运选手,有多少种不同的结果?

对分类加法计数原理概念的理解
在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A、B、C三所高校各有一些自己感爱好的强项专业,具体状况如下:
A高校
B高校
C高校
生物学
数学
新闻学
化学
会计学
金融学
医学
信息技术学
人力资源学
物理学
法学

工程学

　　假如这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?

分类加法计数原理的初步应用
若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“良数”.例如:32是“良数”,由于32+33+34不产生进位现象;23不是“良数”,由于23+24+25产生进位现象.求小于100的“良数”的个数.

分类加法计数原理的提升应用
射击8枪,其中4枪命中,恰有3枪连中的情形有多少种?

某班有男三好同学5名,女三好同学4名,从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法?

一蚂蚁沿着长方体的棱,从它一个顶点A爬到相对的另一个顶点C1的最近路线共有多少条?

高三(1)班有同学50人,男生30人,女生20人;高三(2)班有同学60人,男生30人,女生30人;高三(3)班有同学55人,男生35人,女生20人.
(1)从高三(1)班或(2)班或(3)班中选一名同学任同学会主席,有多少种不同的选法?
(2)从高三(1)班、(2)班男生中,或从高三(3)班女生中选一名同学任同学会体育部长,有多少种不同的选法?

1.从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,假如一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法种数为(　　).
A.1+1+1=3　　　　　　B.3+4+2=9
C.3×4×2=24 D.以上都不对
2.若三个平面两两相交,且三条交线相互平行,则这三个平面把空间分成(　　).
A.5部分　　 B.6部分
C.7部分 D.8部分
3.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各4人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的其次名进行淘汰赛,获胜者角逐冠亚军,败者角逐第3、4名,则大师赛共有　　　　场竞赛. 
4.如右图,电路中共有3个电阻与一个电灯A,若灯A不亮,分析因电阻断路的可能性共有多少种状况.

　　(2022年·四川卷)在方程ay=b2x2+c中,a、b∈{1、2、3},且a、b互不相同,在全部这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有(　　).
A.4条　　　　B.6条 C.7条　　　D.8条

　　考题变式(我来改编):

第一章　计 数 原 理
第1课时　分类加法计数原理
学问体系梳理
问题1:m+n
问题2:m1+m2+…+mn
问题3:分类　相互独立　相对独立
问题4:(1)统一　(2)重复
基础学习沟通
1.A　若取出的书是语文书,有12种方法;若取出的书是数学书,有14种方法;若取出的书是英语书,有11种方法.依据加法原理,不同的取法种数为12+14+11=37.
2.C　若选甲、乙二人,包括甲操作A车床,乙操作B车床,或甲操作B车床,乙操作A车床,共有2种选派方法;
若选甲、丙二人,则只有甲操作B车床,丙操作A车床这1种选派方法;
若选乙、丙二人,则只有乙操作B车床,丙操作A车床这1种选派方法.
故共2+1+1=4种不同的选派方法.选C.
3.15　当x=1,2,3,4,5时,y值依次有5,4,3,2,1个,由加法原理,不同的数对(x,y)共有5+4+3+2+1=15个.
4.解:将选出的幸运选手分成两类:一类来自甲箱中的姓名,有5种方法;一类来自乙箱中的姓名,有4种方法.依据分类加法计数原理可知不同的结果总数有5+4=9种.
重点难点探究
探究一:【解析】这名同学可以选择A、B、C三所高校中的一所.在 A 高校中有 5 种专业,在B高校中有 4 种专业,在C高校中有3种专业.由于没有一个强项专业是任何两所高校共有的,因此依据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择共有5+4+3=12种.
【小结】解决这类问题的关键是弄清分类加法计数原理的定义.
　　探究二:【解析】一位数的“良数”有0,1,2,共3个;
两位数的“良数”,它的十位数字可以是1,2,3,则两位数的“良数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32,共9个.
依据分类加法计数原理,共有12个小于100的“良数”.
【小结】解题时先确定分几类,然后计算每类“良数”的个数,再依据分类加法计数原理求出“良数”的总个数.
　　探究三:【解析】若第1、2、3枪连中,则命中的另一枪应处于第5、6、7、8枪的位置,有4种状况,如下表:
√
√
√

√

√
√
√

√

√
√
√

√

√
√
√

√

　　若第2、3、4枪连中,则命中的另一枪应处于第6、7、8枪的位置,有3种状况;
若第3、4、5枪连中,则命中的另一枪应处于第1、7、8枪的位置,有3种状况;
若第4、5、6枪连中,则命中的另一枪应处于第1、2、8枪的位置,有3种状况;
若第5、6、7枪连中,则命中的另一枪应处于第1、2、3枪的位置,有3种状况;
若第6、7、8枪连中,则命中的另一枪应处于第1、2、3、4枪的位置,有4种状况.
故共有4+3+3+3+3+4=20种情形.
【小结】在状况比较少时,应留意列举法的应用.同时,特殊要留意分类的状况不能重复也不能遗漏.分类时,首先要确定一个适合于问题的分类标准,然后在此标准下进行分类;其次要留意完成这件事的任何一种方法必需属于某一类,并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理.
思维拓展应用
应用一:完成从三好同学中任选一人去领奖这件事,共有两类方法:
第一类,从男三好同学中任选一人,共有m1=5种不同的方法;
其次类,从女三好同学中任选一人,共有m2=4种不同的方法.
依据加法原理,共有N=5+4=9种不同的选法.
　　应用二:如图所示,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又有2条路径,所以, 依据加法原理, 蚂蚁从顶点A爬到顶点C1的最近路线共有N=2+2+2=6条.
　　应用三:(1)完成这件事有三类方法:
第一类,从高三(1)班任选一名同学共有50种选法;
其次类,从高三(2)班任选一名同学共有60种选法;
第三类,从高三(3)班任选一名同学共有55种选法.
依据分类加法计数原理,任选一名同学任校同学会主席共有50+60+55=165种选法.
(2)完成这件事有三类方法:
第一类,从高三(1)班男生中任选一名共有30种选法;
其次类,从高三(2)班男生中任选一名共有30种选法;
第三类,从高三(3)班女生中任选一名共有20种选法.
综上所述,共有30+30+20=80种选法.
基础智能检测
1.B
2.C　如图所示,可知这三个平面把空间分成1+1+1+1+1+1+1=7个部分(①~⑦个部分),故选C.

3.16　每个小组赛有6场竞赛,两个小组有6+6=12场竞赛,半决赛和决赛共有2+2=4场竞赛,依据分类加法计数原理共有12+4=16场竞赛.
4.解:每个电阻都有断路与通路两种状态,灯A不亮可按以下三种情形分类争辩:(1)1个电阻断路时只有1种状况:R3断路;(2)2个电阻断路时有3种状况:R1和R2,R1和R3,R2和R3断路;(3)3个电阻断路时只有1种状况:R1、R2和R3断路.依据分类加法计数原理可知灯A不亮的状况共有1+3+1=5种.
全新视角拓展
B　由方程ay=b2x2+c变形得x2=ab2y-cb2,则要表示抛物线,分b=1、2、3三种状况,当b=1时,则a=2或3,分别对应2条抛物线;同理当b=2或3时,也分别对应2条抛物线.
综上所述,共有不同的抛物线2+2+2=6种.
思维导图构建
m1+m2+…+mn　分类