2021年高三数学(理科)二轮复习课时作业-1-2-5.docx

课时跟踪训练
1．(2022年石家庄模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax＋2(a∈R)在x＝时取得极值．
(1)求a的值；
(2)若F(x)＝λx2－3x＋2－f(x)(λ＞0)有唯一零点，求λ的值．
解：(1)依题意f′(x)＝＋a，f′＝2＋a＝0，则a＝－2，经检验，a＝－2满足题意．
(2)由(1)知f(x)＝ln x－2x＋2，
则F(x)＝λx2－ln x－x，
F′(x)＝2λx－－1＝.
令t(x)＝2λx2－x－1，∵λ＞0，∴Δ＝1＋8λ＞0，
方程2λx2－x－1＝0有两个异号的实根，设x1＜0，
x2＞0，
∵x＞0，∴x1应舍去．
则F(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
且当x→0时，F(x)→＋∞，
当x→＋∞时，F(x)→＋∞，
∴当x＝x2时，F′(x2)＝0，F(x)取得最小值F(x2)．
∵F(x)有唯一零点，∴F(x2)＝0，
则，即，
得F(x2)＝λx－ln x2－x2＝＋－ln x2－x2＝－ln x2－＝0.
又令p(x)＝－ln x－，则p′(x)＝－－＜0(x＞0)．
故p(x)在(0，＋∞)上单调递减，留意到p(1)＝0，故x2＝1，得λ＝1.
2．已知函数f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R)．
(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝2ln x－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率为k＝f′(1)＝2，
∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0
(2)方程f(x)－ax＋m＝0即为2ln x－x2＋m＝0
令g(x)＝2ln x－x2＋m，
则g′(x)＝－2x＝，
∵x∈，∴g′(x)＝0时，x＝1
当＜x＜1时，g′(x)＞0，
当1＜x＜e时，g′(x)＜0，
故函数g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝m－1，
又g＝m－，g(e)＝m＋2－e2，
g(e)－g＝4－e2＋＜0，
则g(e)＜g，
故函数g(x)在上的最小值是g(e)
方程f(x)－ax＋m＝0在上有两个不相等的实数根，则，解得1＜m≤2＋，
故实数m的取值范围是.
3．已知函数f(x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex.
(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；
(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2,0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.
①当a≤1时，x∈[1，e]时，f′(x)≥0，
f(x)在[1，e]上为增函数，f(x)min＝f(1)＝1－a.
②当1＜a＜e时，
x∈[1，a]时，f′(x)≤0，f(x)为减函数；
x＝a时，f′(x)＝0；
x∈[a，e]时，f′(x)≥0，f(x)为增函数．
所以f(x)min＝f(a)＝a－(a＋1)ln a－1.
③当a≥e时，x∈[1，e]时，f′(x)≤0，f(x)在[1，e]上为减函数．
f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－.
综上，当a≤1时，f(x)min＝1－a；
当1＜a＜e时f(x)min＝a－(a＋1)ln a－1；
当a≥e时，f(x)min＝e－(a＋1)－.
(2)由题意知：f(x)(x∈[e，e2])的最小值小于g(x)(x∈[－2,0])的最小值．
由(1)知f(x)在[e，e2]上单调递增，
f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－.
g′(x)＝(1－ex)x.
当x∈[－2,0]时，g′(x)≤0，g(x)为减函数，g(x)min＝g(0)＝1，所以e－(a＋1)－＜1，即a＞，
所以a的取值范围为.
4．(2022年沈阳模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.
(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，试求g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围；
(3)证明不等式：＜＋＋＋…＋＜＋1＋＋＋…＋.
解：(1)由已知得f′(x)＝，∴f′(1)＝1＝a，a＝2.
又∵g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1.
(2)φ(x)＝－f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数，
∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立．
即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)，
∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.
(3)证明：由(1)可得：当x≥2时，ln x＜x－1≤(x－1)，
∴由ln x＜x(x－1)得＜，
∴2＜.
当x＝2时，2＜，当x＝3时，2＜，当x＝4时，2＜，…，当x＝n＋1时，2＜，n∈N*，n≥2.
上述不等式相加得：2＜＋＋＋…＋，即：＜＋＋＋…＋.
由(2)可得：当m＝2时，φ(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数，
∴当x＞1时，φ(x)＜φ(1)＝0，即－ln x＜0，
∴ln x＞，从而得到，＜·.
当x＝2时，＜×，当x＝3时，＜×，当x＝4时，＜×，…，当x＝n＋1时，＜·，n∈N*，n≥2.
上述不等式相加得：＋＋＋…＋＜
＝＝＋1＋＋＋…＋，即＋＋＋…＋ ＜＋1＋＋＋…＋.
综上：＜＋＋＋…＋＜＋1＋＋＋…＋(n∈N*，n≥2)．