【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第8章-第6节-抛物线.docx

第八章　第六节

一、选择题
1．(2021·石家庄五校联考)若抛物线y＝ax2的准线的方程是y＝2，则实数a的值是(　　)
A.　　　　　　 　 B．－
C．8 D．－8
[答案]　B
[解析]　由条件知，－＝2，∴a＝－.
2．(2022·合肥质检)已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．直线
[答案]　A
[解析]　P在BM的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.
又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于P到M的距离，所以点P的轨迹是抛物线．
3．(文)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为(　　)
A．48 B．56
C．64 D．72
[答案]　A
[解析]　由题意不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，
故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48，故选A.
(理)(2021·郑州质量猜想)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的长为(　　)
A．4　　 B．8　　　　
C．12　　 　 D．16
[答案]　D
[解析]　抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.
4．(2022·湖北武汉调研)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
[答案]　C
[解析]　设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选C.
5．(文)(2022·辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)
A．2 B．
C. D．
[答案]　C
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋1
＝4，
∴x1＋x2＝3，∴＝，即AB中点C的横坐标是.
(理)(2022·武昌模拟)直线y＝k(x－2)交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为(　　)
A．6 B．10
C．2 D．16
[答案]　B
[解析]　将y＝k(x－2)代入y2＝8x中消去y得，k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝＝6，∴k＝±2，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝10.
6．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A．2 B．3
C. D．
[答案]　A
[解析]　直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2，故选A.
[点评]　与抛物线有关的最值问题常见题型．
(1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值．
①(2021·甘肃天水调研)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．
[答案]　－1
[解析]　如图，抛物线y＝x2，即x2＝4y的焦点F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y＝－1上的射影为P′，依据抛物线的定义知，|PP′|＝|PF|，
则|PP′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝.
所以(|PA|＋|PM|)min
＝(|PA|＋|PP′|－1)min＝－1.
(2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值．
②(2021·河南洛阳、安阳统考)点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P的坐标为________．
[答案]　(－1，)
[解析]　由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(－1，)即为所求点P的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．
③已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又定点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．
[分析]　抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题，运用三点共线可使问题得到解决．
[解析]　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，

得y＝±，∵>2，
∴点A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，
由定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
即点P的坐标为(2,2)．
(3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小．
④已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　)
A. B．
C．2 D．－1
[答案]　D
[解析]　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
(4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值．
⑤(2022·陕西质检)已知点M(－3,2)是坐标平面内确定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是(　　)
A. B．3
C. D．2
[答案]　C
[解析]　如图，|MQ′|－|Q′F|＝|MQ′|－|Q′A′|＝|MA′|＝|NA|＝|NQ|－|AQ|≤|MQ|－|AQ|＝|MQ|－|QF|.
(其中l是抛物线的准线，QA⊥l，垂足为A，Q′M⊥l垂足为A′，MN⊥QN)，

∵抛物线的准线方程为x＝－，
∴|QM|－|QF|≥|xQ＋3|－|xQ＋|＝3－＝，选C.
(5)与其他曲线有关的抛物线最值问题．
⑥(2022·忻州联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．
[答案]　－1
[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，依据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1.
(6)与平面对量交汇命题．
⑦已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．
[答案]　(0,0)
[解析]　设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．
(7)利用三角形两边之和大于第三边．
⑧(2021·郑州第一次质量检测)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)
A.　　 　 B.　　 　
C．1　　 D．2
[答案]　D
[解析]　由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.由于|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，当直线AB过点F时，等号成立，所以|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，选D.
(8)转化为二次函数最值或用基本不等式求最值．
二、填空题
7．若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.
[答案]　2
[解析]　设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则两式相减得，＝＝2，
∵y1＋y2＝2，∴p＝2.
8．(2021·福州期末)若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．
[答案]　2
[解析]　由题意得F(1,0)，直线AB的方程为y＝x－1.
由得x2－6x＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴|AB|＝·＝8.
设P(－，y0)，则点P到直线AB的距离为，
∴△PAB的面积S＝＝≥2，即△PAB的面积的最小值是2.
9．(2022·山东广饶一中期末)抛物线y2＝8x的顶点为O，A(1,0)，过焦点且倾斜角为的直线l与抛物线交于M，N两点，则△AMN的面积是________．
[答案]　4
[解析]　焦点F(2,0)，直线l：x＝y＋2，代入抛物线y2＝8x，消去x，得y2－8y－16＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝8，y1y2＝－16.∴|y1－y2|＝＝8.故△AMN的面积S＝×1×|y1－y2|＝4.
三、解答题
10．(2021·豫南九校联考)已知动圆M过定点F(1,0)且与直线x＝－1相切，圆心M的轨迹为H.
(1)求曲线H的方程；
(2)一条直线AB经过点F交曲线H于A、B两点，点C为x＝－1上的动点，是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．
[解析]　(1)设M(x，y)，由题意知M到定点F的距离等于到定直线x＝－1的距离，
所以M的轨迹是以F为焦点的抛物线，＝1，∴p＝2，
∴曲线H的方程为y2＝4x.

(2)设直线AB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－1，n)，
由消去x得y2－4my－4＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
∴x1＋x2＝4m2＋2，x1x2＝1.
则M的坐标为(，)，即M(2m2＋1,2m)．
由kCM·kAB＝·＝－1得n＝2m3＋4m，则C(－1，2m3＋4m)．
∵|CM|＝
＝2(m2＋1)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(1＋m2)，
∵|CM|＝|AB|，∴m＝±.
∴存在这样的点C(－1，±8)，使△ABC为正三角形.

一、选择题
11．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(　　)
A．1　　 B．3　　 　　
C．－4　　 D．－8
[答案]　C
[解析]　由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)．
∵点P，Q在抛物线x2＝2y上，
∴42＝2y1，(－2)2＝2y2，
∴y1＝8，y2＝2.

∴P(4,8)，Q(－2,2)．
又∵抛物线方程可化为y＝x2，∴y′＝x.
∴过点P的切线斜率为k1＝4，
切线方程为y＝4x－8，
又∵过点Q的切线斜率为k2＝－2，
∴过点Q的切线方程为y＝－2x－2，
联立解得x＝1，y＝－4.
∴点A的纵坐标为－4.
12．(文)如图，抛物线C1：y2＝4x和圆C2：(x－1)2＋y2＝1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则·的值为(　　)

A. B．1
C．2 D．4
[答案]　B
[解析]　法一：抛物线C1的焦点F也是圆C2的圆心(1,0)．
可用特殊法：当l与x轴垂直时，
|AD|＝4，|BC|＝2，
|AB|＝|CD|＝1，
∴·＝||||＝1.故选B.
法二：由抛物线的定义知，||＝||－1＝xA，
||＝||－1＝xD，
||||＝xA·xD＝＝1.
∴·＝||||＝1.故选B.
(理)直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为(　　)
A．16 B．
C．4 D．
[答案]　B
[解析]　由得x2－3x－4＝0，
∴xA＝－1，xD＝4，yA＝，yD＝4，
∵直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．
∴|AF|＝yA＋1＝，|DF|＝yD＋1＝5，
∴＝＝.故选B.
13．(文)(2022·山东淄博一模)过抛物线y2＝4x焦点F的直线交其于A，B两点，A在第一象限，B在第四象限，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)
A. B．
C. D．2
[答案]　C
[解析]　设A(x0，y0)，由|AF|＝1＋x0＝3，得x0＝2，∴A(2,2)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立，解得B(，－)．∴S△AOB＝×1×|2－(－)|＝.
(理)(2022·课标全国Ⅱ理)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B．
C. D．
[答案]　D
[解析]　由已知得F(，0)，故直线AB的方程为y＝tan30°·(x－)，即y＝x－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
将①代入②并整理得x2－x＋＝0，
∴x1＋x2＝，
∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.
又原点(0,0)到直线AB的距离为d＝＝.
∴S△OAB＝|AB|d＝×12×＝.
14．(2022·课标全国Ⅰ理)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B．
C．3 D．2
[答案]　C
[解析]　抛物线的焦点是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，由于＝4，∴＝，由于△QAP∽△FGP，所以可得＝＝，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.
二、填空题
15．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．
[答案]　x＝－1
[解析]　由消去x得，y2－2py－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，由条件知，y1＋y2＝4，∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－1.
16．(2022·湖南理)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C、F两点，则＝________.

[答案]　＋1
[解析]　由题可得C(，－a)，F(＋b，b)，
∵C、F在抛物线y2＝2px上，∴
∴b2－2ab－a2＝0，
∴＝＋1，故填＋1.
三、解答题
17．(文)(2022·北京西城区期末)已知A，B是抛物线W：y＝x2上的两个点，点A的坐标为(1,1)，直线AB的斜率为k，O为坐标原点．
(1)若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；
(2)设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．
[解析]　(1)抛物线y＝x2的焦点为(0，)．
由题意，得直线AB的方程为y－1＝k(x－1)，
令x＝0，得y＝1－k，即直线AB与y轴相交于点(0,1－k)．
由于抛物线W的焦点在直线AB的下方，
所以1－k>，
解得k<.
(2)由题意，设B(x1，x)，C(x2，x)，D(x3，y3)，
联立方程消去y，得x2－kx＋k－1＝0，
由根与系数的关系，得1＋x1＝k，所以x1＝k－1.
同理，得AC的方程为y－1＝－(x－1)，x2＝－－1.
对函数y＝x2求导，得y′＝2x，
所以抛物线y＝x2在点B处的切线斜率为2x1，
所以切线BD的方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.
同理，抛物线y＝x2在点C处的切线CD的方程为y＝2x2x－x.
联立两条切线的方程，
解得x3＝＝(k－－2)，y3＝x1x2＝－k，
所以点D的坐标为((k－－2)，－k)．
因此点D在定直线2x＋y＋2＝0上．
由于点O到直线2x＋y＋2＝0的距离d＝＝，
所以|OD|≥，当且仅当点D(－，－)时等号成立．
由y3＝－k＝－，得k＝，验证知符合题意．
所以当k＝时，|OD|有最小值.
(理)(2022·开封摸底考试)已知圆(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设P为直线l：x－y－2＝0上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
[解析]　(1)依题意，由圆过定点F可知C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为y＝x2，求导得y′＝x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，
即x1x－2y－2y1＝0.
同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.
由于切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，
所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．
所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，
联立方程，消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，
由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，
所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1.
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2，
所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝2(y0＋)2＋，
所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.
18．(文)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.
[解析]　(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线，
由于抛物线焦点到准线距离等于4，
所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.
(2)证明：由于直线AB与x轴不垂直，
设AB：y＝kx＋2.A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由可得x2－8kx－16＝0，
∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.
抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，
k1k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.
所以AQ⊥BQ.
(理)(2021·长春三校调研)在直角坐标系xOy中，点M(2，－)，点F为抛物线C：y＝mx2(m>0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．
(1)求m的值；
(2)过点M作直线l交抛物线C于A、B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k1、k2、k3，问k1、k2、k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．
[解析]　(1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为(0，)，线段MF的中点N(1，－)在抛物线C上，
∴－＝m,8m2＋2m－1＝0，∴m＝(m＝－舍去)．
(2)由(1)知抛物线C：x2＝4y，F(0,1)．
设直线l的方程为y＋＝k(x－2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由得x2－4kx＋8k＋2＝0，
Δ＝16k2－4(8k＋2)>0，∴k<或k>.

假设k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，则k1＋k3＝2k2.
而k1＋k3＝＋＝
＝＝
＝＝，
k2＝－，∴＝－，8k2＋10k＋3＝0，
解得k＝－(符合题意)或k＝－(不合题意，舍去)．
∴直线l的方程为y＋＝－(x－2)，
即x＋2y－1＝0.
∴k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，此时直线l的方程为x＋2y－1＝0.