2020-2021学年人教A版高中数学必修1：第一章-集合与函数的概念-单元同步测试.docx

第一章测试
(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　)
A．{0} B．{0,2}
C．{－2,0} D．{－2,0,2}
解析　M＝{x|x(x＋2)＝0.，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x(x－2)＝0，x∈R}＝{0,2}，所以M∪N＝{－2,0,2}．
答案　D
2．设f：x→|x|是集合A到集合B的映射，若A＝{－2,0,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0} B．{2}
C．{0,2} D．{－2,0}
解析　依题意，得B＝{0,2}，∴A∩B＝{0,2}．
答案　C
3．f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图象上的是(　　)
A．(3，－2) B．(3,2)
C．(－3，－2) D．(2，－3)
解析　∵f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)．
又f(－3)＝2，∴f(3)＝－2，∴点(3，－2)在函数f(x)的图象上．
答案　A
4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3
C．5 D．9
解析　逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.依据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．
答案　C
5．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
解析　∵f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，∴f(x)＝3x＋2.
答案　B
6．设f(x)＝则f(5)的值为(　　)
A．16 B．18
C．21 D．24
解析　f(5)＝f(5＋5)＝f(10)＝f(15)＝15＋3＝18.
答案　B
7．设T＝{(x，y)|ax＋y－3＝0}，S＝{(x，y)|x－y－b＝0}，若S∩T＝{(2,1)}，则a，b的值为(　　)
A．a＝1，b＝－1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
解析　依题意可得方程组⇒
答案　C
8．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
解析　由－1<2x＋1<0，解得－1<x<－，故函数f(2x＋1)的定义域为.
答案　B
9．已知A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f是从A到B映射的对应关系，则满足f(0)>f(1)的映射有(　　)
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析　当f(0)＝1时，f(1)的值为0或－1都能满足f(0)>f(1)；当f(0)＝0时，只有f(1)＝－1满足f(0)>f(1)；当f(0)＝－1时，没有f(1)的值满足f(0)>f(1)，故有3个．
答案　A
10．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则当n∈N*时，有(　　)
A．f(－n)<f(n－1)<f(n＋1)
B．f(n－1)<f(－n)<f(n＋1)
C．f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)
D．f(n＋1)<f(n－1)<f(－n)
解析　由题设知，f(x)在(－∞，0]上是增函数，又f(x)为偶函数，
∴f(x)在[0，＋∞)上为减函数．
∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)．
又f(－n)＝f(n)，
∴f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)．
答案　C
11．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法：
①f(0)＝0；　②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值为－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值为1；③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确说法的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析　①f(0)＝0正确；②也正确；③不正确，奇函数在对称区间上具有相同的单调性；④正确．
答案　C
12．f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝(　　)
A．1006 B．2022
C．2022 D．1007
解析　由于对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，由f(2)＝f(1)·f(1)，得＝f(1)＝2，
由f(4)＝f(3)·f(1)，得＝f(1)＝2，
……
由f(2022)＝f(2021)·f(1)，
得＝f(1)＝2，
∴＋＋＋…＋＝1007×2＝2022.
答案　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数y＝的定义域为________．
解析　由得函数的定义域为{x|x≥－1，且x≠0}．

答案　{x|x≥－1，且x≠0}
14．f(x)＝若f(x)＝10，则x＝________.
解析　当x≤0时，x2＋1＝10，∴x2＝9，∴x＝－3.
当x>0时，－2x＝10，x＝－5(不合题意，舍去)．
∴x＝－3.
答案　－3
15．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
解析　f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2为偶函数，则2a＋ab＝0，∴a＝0，或b＝－2.
又f(x)的值域为(－∞，4]，∴a≠0，b＝－2，∴2a2＝4.
∴f(x)＝－2x2＋4.
答案　－2x2＋4
16．在肯定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，假如购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应当是________元．
解析　设一次函数y＝ax＋b(a≠0)，把
和代入求得
∴y＝－10x＋9000，于是当y＝400时，x＝860.
答案　860
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.
(1)求A∪B，(∁UA)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
解　(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}
＝{x|1<x≤8}．
∁UA＝{x|x<2，或x>8}．
∴(∁UA)∩B＝{x|1<x<2}．
(2)∵A∩C≠∅，∴a<8.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)推断f(x)的奇偶性；
(3)求证：f＋f(x)＝0.
解　(1)由解析式知，函数应满足1－x2≠0，即x≠±1.
∴函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠±1}．
(2)由(1)知定义域关于原点对称，
f(－x)＝＝＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
(3)证明：∵f＝＝，
f(x)＝，
∴f＋f(x)＝＋
＝－＝0.
19．(本小题满分12分)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间．
解　(1)当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴当x<0时，f(x)＝x2＋2x.
(2)由(1)知，f(x)＝
作出f(x)的图象如图所示：

由图得函数f(x)的递减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
f(x)的递增区间是[－1,0]，[1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，
(1)推断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
解　(1)函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，最大值f(4)＝，最小值f(1)＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)为增函数，f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f＝f(x)－f(y)；
(2)若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．
解　(1)证明：∵f(x)＝f＝f＋f(y)，(y≠0)
∴f＝f(x)－f(y)．
(2)∵f(3)＝1，∴f(9)＝f(3·3)＝f(3)＋f(3)＝2.

∴f(a)>f(a－1)＋2＝f(a－1)＋f(9)＝f[9(a－1)]．
又f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
∴∴1<a<.
22．(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发觉，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：
x
30
40
45
50
y
60
30
15
0
(1)在所给的坐标图纸中，依据表中供应的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式．

(2)设经营此商品的日销售利润为P元，依据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
解　(1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．

设它们共线于直线y＝kx＋b，则⇒
∴y＝－3x＋150(0≤x≤50，且x∈N*)，经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上．
∴所求函数解析式为y＝－3x＋150(0≤x≤50，且x∈N*)．
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300.
∴当x＝40时，P有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．