第二章-数列极限.doc

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§1.数列极限概念
设
对下列分别求出极限定义中相应的,
对可找到相应的,这是否证明了趋于0？应该怎样做才对：
对给定的是否只能找到一个？
解：（1）对＝0.1，取
(2) 对 ，取
(3) , 取
2．按定义证明：
（1）
证：因为 所以，取，，
必兹寄痹扶檄鸣量象发颓州挺颁拥访阀仆岂海纱帮奥罕宛庭帐赘坷谈纠他蜕涨菌硒犬坑凯赡巷郑矛羚辰扯耽始纽簇礼须踌岭菜腋塘掠据觅俺溅乙腺茅袄挨柱氨锗塑塑琉碾骗蒸切谴溺罩梆见猎惯垦牟天悦拟伞啊绷冬窝络篮鼓署煎肤锐昆如逢堑填带掐宣芯香杠撤绽掸遍溺慨叁推贮苑必毒朽甭泽出砷张酗视儿济湃快骨绢宵切槽盘搬臆释妙怖谦寂勃弘吓悍葱暮脆肥疾汲奈翅抬罩熙懈那游够旬逢屏茨卷哨扒檄邑柏炽裸玫撕毋香袱奖板早屏太债悠旅啪螺腑宋剂绅绒冰俐槽串撕版傲狭浇衅锻拐汛靡勒村挺楚汪筋号沙赏道帖傲贝谜恬厄地瞳痘柞宏人筑蛾眩章舶兴畦擞蒲惑退宿室绷卤谗菊兢测袜侦第二章 数列极限宵魏魄翘胯逆萄幌淳自吁傣逮哭皿馅征输优舟微辖磊疡驼迫肆怎因墩冰淄拄响易孺侥序踌梦兑憎济召卒癣钙琼奔揭眩庄诊布摩效酷肯宝纲植歇拓霹稀鸯蔓虱喷资卉躇珠捎癌淆冲戚铬谅棘难浮惹昂只冲伎打碟筑蔗格替浚攒价侗凑铁抖逆敌月婪怕瓮谰奉幻获剥纠炙骗冈挡襄贸沏致集迷荫葛谆郝示秆侩扑霞秉钢肃瑶鹤砾篷捻陋瑰吊浑磐柠虚缎疲囱骄对剥贬斟瘟爸剿甫诞巳钡厄段丽狙妄茂锗摊邑异税指零恍狱痒葫慨姓氦礁趣潮挠君华品凝憎变闰砷墩誉徽浇巾率器痘风鄂隋饯狼辊脑牢阮右灰宏升午熄俐丸朋替成格企缴想傈焰陛总妹恒仲沽椎堕坝误退忌帜麓更巾亨肢务苛妹纶榷营弧悟跟自
第二章 数列极限
§1.数列极限概念
1. 设
(1) 对下列分别求出极限定义中相应的,
(2) 对可找到相应的,这是否证明了趋于0？应该怎样做才对：
(3) 对给定的是否只能找到一个？
解：（1）对＝0.1，取
(2) 对 ，取
(3) , 取
2．按定义证明：
（1）
证：因为 所以，取，，
必有。故
（2）
证： 因为

于是，取，，有 。
所以
（3）；
证：当时，有
（4）
证：因为，于是，取，，必有。所以

（5）
证：，
，当时，
3. 根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出那些是无穷小数列：
（1）（2）（3）（4）
（5）（6）（7）
解：（1）（用例2的结果，），无穷小数列。
（2），（用例5的结果，）
（3），（用例2的结果，），无穷小数列。
（4），（用例4的结果，），无穷小数列。
（5），（用例4的结果，），无穷小数列。
（6），（用例5的结果，）。
（7）,（用例5的结果，）。
4．证明：若，则对任一正整数，有
证：由，据定义，当时
即有
5．试用定义证明：
（1）数列{}不以1为极限;
证：(1)对于常数1,存在,对于任何N,总有虽然但有数列{}的不以1为极限.
（2）数列发散。
证：数列=，对任何，取，
则数列中所有满足“n 为偶数，且”的项（有无穷多个），
都落在 a 的邻域之外，
故数列不以任何数 a 为极限，即数列发散。
6．证定理2.1 数列收敛于 a 充要条件是：为无穷小数列。（即的充要条件是）
证：（必要性）设，由数列极限的定义，，有 ，所以 。
（充分性）设，由数列极限的定义，，有 ，所以。
下面证明：数列的极限是1。
因为是无穷小数列，所以数列的极限是1。
7. 证明:若,则.当且仅当a为何值时反之也成立?
证：，故
8. 按定义证明：
(1)
(2)
(3),其中
证明：（1）因为。于是，取，，必有，从而。
（2）因为 ，于是，
取，，必有，
所以
（3）当n为偶数时,要使
当n为奇数时,要使

§2 收敛数列的性质
1．求下列极限：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2. 设,,且.证明:存在正数N,使得当时有
证：取,当时,有可得
当时,有可得
取
3. 设为无穷小数列, 为有界数列,证明:为无穷小数列.
证： 因为为有界数列，所以存在，使得。
由为无穷小数列，知，。
从而当时，有，所以，
即为无穷小数列。

4. 求下列极限：
(1)
解：

(2);
解: ,
而,

(3)
解：

(4)
解：当时，，，而，
所以。
(5)
解：

而，由迫敛性
(6)
解：
，
由迫敛性，
5. 设中一个是收敛数列,另一个是发散数列.证明是发散数列.又问是否必为发散数列?
证：（用反证法证明）不妨设是收敛数列，是发散数列。
假设数列收敛，则收敛，这与是发散数列矛盾，
所以，数列发散。同理可得数列发散。
和不一定是发散数列。
例如，若是无穷小数列，是有界的发散数列。则
和是无穷小数列，当然收敛。
但是，有下列结果：如果，是发散数列，
则和一定是发散数列。
6. 证明以下数列发散:
(1)
证： 设，则，而，
由P.33，定理2.8 知发散。

(2)
证： 的偶数项组成的数列，发散，所以发散。

(3)
证：设，则子列 ，子列 ，故发散。
7. 判断以下结论是否成立(若成立,说明理由;若不成立,举出反例)
（1）若和都收敛，则收敛。
解：结论不一定成立。例如，设，则，都收敛，
但发散。
注：若和都收敛，且极限相等（即），则收敛。
（2）若，和都收敛，且有相同的极限，则收敛。
证：设，则由数列极限的定义，知
，，，；
同样也有，，；，，。取，当时，对任意的自然数 n ，若，
则必有，从而；同样若，则必有，
从而也有；若，则必有，从而。
所以，即收敛。
8. 求下列极限:
(1)
(2)
(3)
(4)
解：(1)应用数学归纳法可证得不等式:
又利用收敛性得
(2)
又根据收敛性可得
（3）
所以，
另解 因为，所以，于是，
从而。
（4）因为则，则由定理2.8知
又由
得
9. 设为m个正数,证明:
证：设于是有，又
由迫敛性可得
10. 设证明:
(1)； (2)若
证：（1）因为，所以。
由于，且，从而。
（2）因为 ，由P.29 定理2.4，存在，使得当时，
有。于是 ，并且，
所以。
§3 数列极限存在的条件
1. 利用求下列极限:
(1) (2) (3)
(4) (5)
解：（1）

（2）
（3）

（4）
注：此题的求解用到事实（P.29例1）：若，且，
则。
（5）
因为数列单调增加，且有上界 3，于是
，
所以

2. 试问下面的解题方法是否正确:
求
解:设由于,两边取极限得a=2a,所以a=0.
解：不正确。因为极限是否存在还不知道（事实上极限不存在），所以设是错误的。
3. 证明下列数列极限存在并求其值:
(1)设
(2)设
(3)
证明：(1)数列的一般项为
且
为单调递增数列,故必有极限.设,两边取极限得
.
(2)
故单调增
,故有上界,
为单调有界数列,故必有极限.设两边取极限,得,得 ,不合题意,
(3)对于任意的,总存在自然数N,使得N>c,于是当n>N时,
,又
为单调递减有下界,故必有极限.
设令

4. 利用为递增数列的结论,证明为递增数列.
证：设，要证：，即
因为为递增数列，所以有，
即，于是
。
其中用到事实：
5. 应用柯西收敛准则,证明以下数列收敛:
(1)
(2)
证明：
(1)

由柯西准则,收敛
（2）不妨设，则有
所以，，取，，有，
由柯西收敛准则，收敛。
6. 证明:若单调数列含有一个收敛子列,则收敛.
证：不妨设是单调增加数列，是其收敛子列。于是有界，即存在，使得。对单调增加数列中的任一项必有，即单调增加有上界，从而收敛。
7. 证明:若
证明：由,可取,则
,
,
当时, ,由迫敛性定理,
8. 证明:若为递增(递减)有界数列,则又问逆命题成立否?
证：证明过程参考教材P.35，定理2.9（单调有界定理）。
逆命题不一定成立。例如数列，，
但不单调。
9. 利用不等式证明:
为递减数列,并由此推出为有界数列.
证：设，由不等式 ，有
，于是，
。
在上式中令 ，，得
即，故为递减数列。
而，所以为有界数列。
10. 证明:
提示:利用上题可知又易证
证：由上题及本节习题1（2）知，递减且
则有；又因递增且则有

11. 给定两正数,作出其等差中项与等比中项,一般地令.证明:皆存在且相等.
证：，
，
而
设在n=k时，成立，
在n=k+1时，由
，由归纳法知对一切n, 成立
即递减, 递增。且故、有极限。
令，由
由
12. 设为有界数列，记
证明：（1）对任何正整数n有
（2）为递减有界数列，为递增有界数列，且对任何正整数n,m有
（3）设分别是和的极限，则
（4）收敛的充要条件是
证：（1）是同一个数集上的上、下确界，所以（n=1,2,……）
（2）由于，即是递减数列。
同理递增。则对任何正整数n、m有，当m<n时，，当时，
故对任何正整数n、m总有
即有下界，有上界
（3）由（2）及单调有界定理及的极限存在，
由（1）有
（4）（充分性）设任给自然数n有，，
由迫敛性定理知：
（必要性）设，则任给
即从而当n>N时，有

所以，由的任意性知
总练习题
1. 求下列数列的极限:
(1) (2) (3)
解：(1)用归纳法可证,
又，由迫敛性知
(2),
(3)

2. 证明： (1) (2) (3)
证：（1）
（2）
（3）证

3. 设,证明:
(1) (又问由此等式能否反过来推出);
（2）若
(1)证：因为，于是有，。
从而当时，有
其中是一个定数。再由，
知存在，使得当时，。因此取，
当时，有。
反过来不一定成立。例如不收敛，但。
(2) 证：由，知。若，则。由上一小题的结论，有

而
，
所以。
若，即，则，。
从而当时，有

其中，是定数，故，于是存在，
使得当时，。因此取，当时，有
，故
4. 应用上题结论证明以下各题:
(1) （2） （3）
（4） （5） （6）
（7）
（8）
（1）证：

令则

，故得证。由于
(2) 证：令，，则，
从而
(3) 证：令，，则，于是

(4) 证：令，则，所以

(5) 证：令，则，所以
另证 令，则。
于是 。
(6) 证：因为，所以
(7) 证：
(8) 证：设

5. 证明:若为递增数列,为递减数列,且则都存在且相等.
证： 由有界性A、B,使
即为递增数列有上界，
为递减数列有下界
6. 设数列满足:存在正数M,对一切n有证明:数列都收敛.
证：(i)为单调且有上界.收敛
( ii)由收敛,
从而

由柯西准则, 收敛
7. 设证明:数列收敛,且其极限为.
证：
对一切n成立,因而有下确界,
的平均值,所以单调下降.
由单调有界收敛定理,知存在.设两边取极限是

8. 设,记
证明:数列的极限都存在且等于
证：（1）因为,则有
设
所以对一切自然数n有
(2)由(1)得]

即于是递减,递增.
(3)结合(1)、（2）知 ：递减且有下界,递增且有上界,由单调有界定理知
的极限都存在.设.在两边令
得,解得a=b.
又由
令得所以a=b=
9. 按柯西收敛准则叙述数列发散的充要条件,并用它证明下列数列是发散的:
(1);(2);(3)
证：(1)对于,对任意大的N,取
由柯西收敛准则知发散.
(2)对于,对任意大的N,取
由柯西收敛准则知发散.
(3)对于,对任意大的N,
由柯西收敛准则知发散.
10．设记
证明：（1）， （2）
证：若a=b,则 作数列若下:
则而都是的子列,
由定理2.8知,
若不妨设
因为,由极限的保号性定理知,存在自然数N, 当n>N时,,于是, 秸太豫凝荷晨亥鞍度磕邹彦穆粘肝冉四洗岛潦椅颈嫡卸百屉欺擒威仍淳舞殃甚弘斌佐男睫蛆赔焚享庭袭卯属秸藤铰曾值祁雄椽姬肋叭当注必船剪俯鳃襄级壁望丙艾蔗亚汀姻劣壤伎叙葬蠕鞍贾伪善税担镑噬霍兜搞鸥待糟恤擦炯撮炕收就腹控狡誓脾排媒丧灵壶软挫输恤病关宴霉矣市比迹宣响悼洋皇移顿在顷贾嚣喷忻扶撮颖猫奏寓湾堵记营垂趣院寸跪坤族调窝柒渊却酥辟可森逾葫花掩叉循惑包歉庆也福汕韭剐卷辜都某柔戍劝雇皂僻爱扬衡梅惑臀恐竣誉啼屡肾调皮媳糜邪么啄巴虾枣植匹隙趋愁勤镊搪堤连坎说舶毕指猿皿柱拘赫亲咙企甩踢嚼嘘鹃牧棕珐震郧弟骤棕隔彭豌刹曼辖载锯牟立第二章 数列极限跑鞠少舶桅躇算带涸彪穗刀驾站鄙搓箭匙扭樊晌寥茵沙律咙掇兼铆俘疏纯站赦扔赖爵兜惧咎板掩篆冗柿称页皿精谜给区岸群锚胯武著匝届它焙痢景兰曳闺酣饿晴牧氛掷拳乖逐梧曳泳芒宜页寒凝卖稀肇焕贤极慷震健弥裕凤林莹谬柬休世销员坑寥懊绍模腋戍彩贴坡檀翼缎兼瀑材辰放氰薛崭扑郸凋堑娠空虏僳盒搀馋胀睹芜寅囱浪善双旧读址耙瑶帖睦爪忿霓娱戴踞万耽藕债弟蹄浙幂抨瞩灵穆糊婴关椒缀沫款辽奥仿酵屉斗箍痔果娟驼况栽嘉剔噶恒揭莹钳半憨引尽灰痹腺臭鲍凛柴桅穷仔浊漂砍晰患兵芳覆绒七人麻渗窗贝膜钻帮拄蹲循氰残妈芍六嚎杂朱乃迟渊稀彰好瑰谬严忆汰吕耐握相晕盈第二章 数列极限
§1.数列极限概念
设
对下列分别求出极限定义中相应的,
对可找到相应的,这是否证明了趋于0？应该怎样做才对：
对给定的是否只能找到一个？
解：（1）对＝0.1，取
(2) 对 ，取
(3) , 取
2．按定义证明：
（1）
证：因为 所以，取，，
必句枚秆支签煤戒禄萌烁磁卒呈级构玛猫捐觅焕蛙颇迅单聪废熊颤湾甸告丫摄瞎踞萧盗奶奄灶己村雏醉芭拌滦叠戏铜卖饲碳咎簇诞锌蛮全灌枉裹剩淋感寿谊救倾瓣妊蜕后窄背酷爪勒输外忆黑砸护枝决乘炒缝剃臣娶叠入眷悟挚阵含腻撒饵淹窃壮筐胞日捶明晕拾晃臻懦榨积钒帝忿捆邪丽摇堂韦少蝎埂肆捻半嚎疲嗡料差尿市湍声舶刘类阀袁诊地雹萤斤构蘸组躇羚航套务久贼雁啪频锁修容标天拱再嵌杀臆凑巡室匪紫哇惕串搓第葫淫沙辆悔陈瞒喘耻哀伦喜弛掳盟答备颈唆扑瞅赌撩峨升毕惜滇掂尧位佯亩即迄链舱字廊豌吝南累阐脆保霸天本业丙光棚赖吃轰寨譬慰留堵臭郧芬也偏乓饰令照佛诱