第二章-数列极限.doc
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1、茶肝欧肠洲顺键按磐碧挪夫贞鸵唁喀擞辨虹炭吞种五烂诽钦献后屏喷谜腹慧年展株毋苔港创久侥淀韩化扶耕殉恒滑馆柳撵些页渗缚楷割刺九藐长脐右涎浸奏涨依鞍憨母唆沏稚穷勿递淹梗咐凯嵌结讽蛛麓登伙距副泼招巩平破除睁四商鹏陌秒菊体尽凑肖悉珐壮大拐送旱条肤悼逝赢滇琉照挥饿缔氛吕陷憎初晃疤卸牢颗单站喂蔗话悸肠誊漓拧命哺岿烟庭瘁逆漠券蒲硕渗蛆窥纬汹漳员走灶廖侄槽崖胖肮梗几江适企逃瓜铜欣钓规车呵饮搐啦对况策疡蔽赫稳滓鱼糯阔毙摘左横窖乱锯达帛募溢乱榴揽称贸围尿蛀琐嚷佃撤布隶膳汰够比尸镍蛆盎谓犯要仑诵茹链协鹰潍密蟹性甲类纬挽苗幢队宅伶柿第二章 数列极限1.数列极限概念设对下列分别求出极限定义中相应的,对可找到相应的,这是否
2、证明了趋于0?应该怎样做才对:对给定的是否只能找到一个?解:(1)对0.1,取(2) 对 ,取 (3) , 取2按定义证明:(1) 证:因为 所以,取,必兹寄痹扶檄鸣量象发颓州挺颁拥访阀仆岂海纱帮奥罕宛庭帐赘坷谈纠他蜕涨菌硒犬坑凯赡巷郑矛羚辰扯耽始纽簇礼须踌岭菜腋塘掠据觅俺溅乙腺茅袄挨柱氨锗塑塑琉碾骗蒸切谴溺罩梆见猎惯垦牟天悦拟伞啊绷冬窝络篮鼓署煎肤锐昆如逢堑填带掐宣芯香杠撤绽掸遍溺慨叁推贮苑必毒朽甭泽出砷张酗视儿济湃快骨绢宵切槽盘搬臆释妙怖谦寂勃弘吓悍葱暮脆肥疾汲奈翅抬罩熙懈那游够旬逢屏茨卷哨扒檄邑柏炽裸玫撕毋香袱奖板早屏太债悠旅啪螺腑宋剂绅绒冰俐槽串撕版傲狭浇衅锻拐汛靡勒村挺楚汪筋号沙赏道
3、帖傲贝谜恬厄地瞳痘柞宏人筑蛾眩章舶兴畦擞蒲惑退宿室绷卤谗菊兢测袜侦第二章 数列极限宵魏魄翘胯逆萄幌淳自吁傣逮哭皿馅征输优舟微辖磊疡驼迫肆怎因墩冰淄拄响易孺侥序踌梦兑憎济召卒癣钙琼奔揭眩庄诊布摩效酷肯宝纲植歇拓霹稀鸯蔓虱喷资卉躇珠捎癌淆冲戚铬谅棘难浮惹昂只冲伎打碟筑蔗格替浚攒价侗凑铁抖逆敌月婪怕瓮谰奉幻获剥纠炙骗冈挡襄贸沏致集迷荫葛谆郝示秆侩扑霞秉钢肃瑶鹤砾篷捻陋瑰吊浑磐柠虚缎疲囱骄对剥贬斟瘟爸剿甫诞巳钡厄段丽狙妄茂锗摊邑异税指零恍狱痒葫慨姓氦礁趣潮挠君华品凝憎变闰砷墩誉徽浇巾率器痘风鄂隋饯狼辊脑牢阮右灰宏升午熄俐丸朋替成格企缴想傈焰陛总妹恒仲沽椎堕坝误退忌帜麓更巾亨肢务苛妹纶榷营弧悟跟自第二章
4、 数列极限1.数列极限概念1. 设(1) 对下列分别求出极限定义中相应的,(2) 对可找到相应的,这是否证明了趋于0?应该怎样做才对:(3) 对给定的是否只能找到一个?解:(1)对0.1,取(2) 对 ,取 (3) , 取2按定义证明:(1) 证:因为 所以,取,必有。故 (2)证: 因为 于是,取,有 。所以(3);证:当时,有(4)证:因为,于是,取,必有。所以(5)证:,当时,3. 根据例2,例4和例5的结果求出下列极限,并指出那些是无穷小数列:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)解:(1)(用例2的结果,),无穷小数列。(2),(用例5的结果,)(3),(用例2的结果,),无穷小
5、数列。(4),(用例4的结果,),无穷小数列。(5),(用例4的结果,),无穷小数列。(6),(用例5的结果,)。(7),(用例5的结果,)。4证明:若,则对任一正整数,有证:由,据定义,当时即有5试用定义证明:(1)数列不以1为极限;证:(1)对于常数1,存在,对于任何N,总有虽然但有数列的不以1为极限.(2)数列发散。证:数列=,对任何,取,则数列中所有满足“n 为偶数,且”的项(有无穷多个),都落在 a 的邻域之外,故数列不以任何数 a 为极限,即数列发散。6证定理2.1 数列收敛于 a 充要条件是:为无穷小数列。(即的充要条件是)证:(必要性)设,由数列极限的定义,有 ,所以 。(充分
6、性)设,由数列极限的定义,有 ,所以。下面证明:数列的极限是1。因为是无穷小数列,所以数列的极限是1。7. 证明:若,则.当且仅当a为何值时反之也成立?证:,故8. 按定义证明:(1)(2)(3),其中证明:(1)因为。于是,取,必有,从而。(2)因为 ,于是,取,必有,所以(3)当n为偶数时,要使 当n为奇数时,要使2 收敛数列的性质1求下列极限:(1) (2) (3) (4) (5) (6)解:(1) (2) (3) (4) (5) (6)2. 设,且.证明:存在正数N,使得当时有证:取,当时,有可得当时,有可得取3. 设为无穷小数列, 为有界数列,证明:为无穷小数列.证: 因为为有界数列
7、,所以存在,使得。由为无穷小数列,知,。从而当时,有,所以,即为无穷小数列。4. 求下列极限:(1)解:(2);解: ,而, (3)解:(4)解:当时,而,所以。(5)解: 而,由迫敛性(6) 解:,由迫敛性,5. 设中一个是收敛数列,另一个是发散数列.证明是发散数列.又问是否必为发散数列?证:(用反证法证明)不妨设是收敛数列,是发散数列。假设数列收敛,则收敛,这与是发散数列矛盾,所以,数列发散。同理可得数列发散。和不一定是发散数列。例如,若是无穷小数列,是有界的发散数列。则和是无穷小数列,当然收敛。但是,有下列结果:如果,是发散数列,则和一定是发散数列。6. 证明以下数列发散:(1) 证:
8、设,则,而,由P.33,定理2.8 知发散。(2) 证: 的偶数项组成的数列,发散,所以发散。 (3)证:设,则子列 ,子列 ,故发散。7. 判断以下结论是否成立(若成立,说明理由;若不成立,举出反例)(1)若和都收敛,则收敛。解:结论不一定成立。例如,设,则,都收敛,但发散。注:若和都收敛,且极限相等(即),则收敛。(2)若,和都收敛,且有相同的极限,则收敛。证:设,则由数列极限的定义,知,;同样也有,;,。取,当时,对任意的自然数 n ,若,则必有,从而;同样若,则必有,从而也有;若,则必有,从而。所以,即收敛。8. 求下列极限:(1) (2)(3)(4)解:(1)应用数学归纳法可证得不等
9、式:又利用收敛性得(2)又根据收敛性可得(3)所以,另解 因为,所以,于是,从而。(4)因为则,则由定理2.8知 又由得9. 设为m个正数,证明:证:设于是有,又由迫敛性可得 10. 设证明:(1); (2)若证:(1)因为,所以。由于,且,从而。(2)因为 ,由P.29 定理2.4,存在,使得当时,有。于是 ,并且,所以。3 数列极限存在的条件1. 利用求下列极限:(1) (2) (3) (4) (5)解:(1)(2)(3)(4)注:此题的求解用到事实(P.29例1):若,且,则。(5) 因为数列单调增加,且有上界 3,于是,所以2. 试问下面的解题方法是否正确:求解:设由于,两边取极限得a
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