2021届高考数学(理科-全国通用)二轮专题配套word版练习:专题二-第2讲-函数的应用.docx
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第2讲 函数的应用 考情解读 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以选择、填空题的形式毁灭.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数的最值问题. 1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点. (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. (3)零点存在性定理 假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 留意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点. (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解. 2.函数模型 解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型,并要留意定义域.其解题步骤是(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;(3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 热点一 函数的零点 例1 (1)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是( ) A.(,1) B.(1,e-1) C.(e-1,2) D.(2,e) (2)(2022·辽宁)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=则不等式f(x-1)≤的解集为( ) A.[,]∪[,] B.[-,-]∪[,] C.[,]∪[,] D.[-,-]∪[,] 思维升华 (1)依据二分法原理,逐个推断;(2)画出函数图象,利用数形结合思想解决. 答案 (1)C (2)A 解析 (1)由于f()=ln-4<0,f(1)=ln 2-2<0,f(e-1)=1-<0,f(2)=ln 3-1>0,故零点在区间(e-1,2)内. (2)先画出y轴右边的图象,如图所示. ∵f(x)是偶函数,∴图象关于y轴对称,∴可画出y轴左边的图象,再画直线y=.设与曲线交于点A,B,C,D,先分别求出A,B两点的横坐标. 令cos πx=,∵x∈[0,], ∴πx=,∴x=. 令2x-1=,∴x=,∴xA=,xB=. 依据对称性可知直线y=与曲线另外两个交点的横坐标为xC=-,xD=-. ∵f(x-1)≤,则在直线y=上及其下方的图象满足, ∴≤x-1≤或-≤x-1≤-, ∴≤x≤或≤x≤. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有①函数零点值大致存在区间的确定;②零点个数的确定;③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解. (1)已知函数f(x)=()x-cos x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知a是函数f(x)=2x-logx的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足( ) A.f(x0)=0 B.f(x0)>0 C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定 答案 (1)C (2)C 解析 (1)f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y=()x和y=cos x的图象在[0,2π]上的交点个数,而函数y=()x和y=cos x的图象在[0,2π]上的交点有3个,故选C. (2)∵f(x)=2x-logx在(0,+∞)上是增函数,又a是函数f(x)=2x-logx的零点,即f(a)=0,∴当0<x0<a时,f(x0)<0. 热点二 函数的零点与参数的范围 例2 对任意实数a,b定义运算“⊗”:a⊗b=设f(x)=(x2-1)⊗(4+x),若函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同交点,则k的取值范围是( ) A.(-2,1) B.[0,1] C.[-2,0) D.[-2,1) 思维启迪 先确定函数f(x)的解析式,再利用数形结合思想求k的范围. 答案 D 解析 解不等式:x2-1-(4+x)≥1,得:x≤-2或x≥3, 所以,f(x)= 函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y=f(x)的图象和直线y=-k恰有三个不同交点. 如图,所以-1<-k≤2,故-2≤k<1. 思维升华 已知函数的零点个数求解参数范围,可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数;也可以利用函数方程思想,构造关于参数的方程或不等式进行求解. 定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的单调增区间为(-1,1),若方程3a(f(x))2+2bf(x)+c=0恰有6个不同的实根,则实数a的取值范围是________. 答案 a<- 解析 ∵函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的单调增区间为(-1,1),∴-1和1是f′(x)=0的根, ∵f′(x)=3ax2+2bx+c, ∴,∴b=0,c=-3a, ∴f(x)=ax3-3ax, ∵3a(f(x))2+2bf(x)+c=0, ∴3a(f(x))2-3a=0,∴f2(x)=1,∴f(x)=±1, ∴,即,∴a<-. 热点三 函数的实际应用问题 例3 省环保争辩所对市中心每天环境放射性污染状况进行调查争辩后,发觉一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)=|-a|+2a+,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且a∈[0,],若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作M(a). (1)令t=,x∈[0,24],求t的取值范围; (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标? 思维启迪 (1)分x=0和x≠0两种状况,当x≠0时变形使用基本不等式求解. (2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)=|t-a|+2a+,再把函数g(t)写成分段函数后求M(a). 解 (1)当x=0时,t=0; 当0<x≤24时,x+≥2(当x=1时取等号), ∴t==∈(0,], 即t的取值范围是[0,]. (2)当a∈[0,]时,记g(t)=|t-a|+2a+, 则g(t)= ∵g(t)在[0,a]上单调递减,在(a,]上单调递增, 且g(0)=3a+,g()=a+, g(0)-g()=2(a-). 故M(a)= 即M(a)= 当0≤a≤时,M(a)=a+<2明显成立; 由得<a≤, ∴当且仅当0≤a≤时,M(a)≤2. 故当0≤a≤时不超标,当<a≤时超标. 思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题,首先要急躁、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的学问求解,解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法及导数法. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)= (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本) 解 (1)当0<x≤10时, W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10; 当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x. ∴W= (2)①当0<x≤10时,由W′=8.1-=0, 得x=9,且当x∈(0,9)时,W′>0; 当x∈(9,10)时,W′<0,∴当x=9时,W取得最大值, 且Wmax=8.1×9-·93-10=38.6. ②当x>10时, W=98-≤98-2=38, 当且仅当=2.7x,即x=时,W=38, 故当x=时,W取最大值38. 综合①②知:当x=9时,W取最大值38.6万元,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大. 1.函数与方程 (1)函数f(x)有零点⇔方程f(x)=0有根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点. (2)函数f(x)的零点存在性定理 假如函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使f(c)=0. ①假如函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,并且函数f(x)在区间[a,b]上是一个单调函数,那么当f(a)·f(b)<0时,函数f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的c∈(a,b),使f(c)=0. ②假如函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)>0,那么,函数f(x)在区间(a,b)内不愿定没有零点. 2.函数综合题的求解往往应用多种学问和技能.因此,必需全面把握有关的函数学问,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件.要认真分析,处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的学问和方法逐步化归为基本问题来解决. 3.应用函数模型解决实际问题的一般程序 ⇒⇒⇒ 与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是精确 的建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关学问加以综合解答. 真题感悟 1.(2022·重庆)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( ) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 答案 A 解析 作出函数f(x)的图象如图所示,其中A(1,1),B(0,-2). 由于直线y=mx+m=m(x+1)恒过定点C(-1,0),故当直线y=m(x+1)在AC位置时,m=,可知当直线y=m(x+1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y=m(x+1)可与AC重合但不能与x轴重合),此时0<m≤,g(x)有两个不同的零点.当直线y=m(x+1)过点B时,m=-2;当直线y=m(x+1)与曲线f(x)相切时,联立得mx2+(2m+3)x+m+2=0,由Δ=(2m+3)2-4m(m+2)=0,解得m=-,可知当y=m(x+1)在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y=m(x+1)可与BC重合但不能与切线重合),此时-<m≤-2,g(x)有两个不同的零点.综上,m的取值范围为(-,-2]∪(0,],故选A. 2.(2022·北京)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a、b、c是常数),如图记录了三次试验的数据.依据上述函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 答案 B 解析 依据图表,把(t,p)的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入函数关系式,联立方程组得消去c化简得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2.0=-(t2-t+)+-2=-(t-)2+,所以当t==3.75时,p取得最大值,即最佳加工时间为3.75分钟. 押题精练 1.已知函数f(x)=则函数y=f[f(x)+1]的零点有________个. 答案 4 解析 当f(x)=0时,x=-1或x=1,故f[f(x)+1]=0时,f(x)+1=-1或1.当f(x)+1=-1,即f(x)=-2时,解得x=-3或x=;当f(x)+1=1,即f(x)=0时,解得x=-1或x=1.故函数y=f[f(x)+1]有四个不同的零点. 2.函数f(x)=xex-a有两个零点,则实数a的取值范围是________. 答案 (-,0) 解析 令f′(x)=(x+1)ex=0,得x=-1, 则当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0, 当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0, f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,要使f(x)有两个零点,则微小值 f(-1)<0,即-e-1-a<0,∴a>-,又x→-∞时,f(x)>0,则a<0, ∴a∈(-,0). 3.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元. 答案 5 8 解析 由题意知每台机器运转x年的年平均利润为=18-(x+),而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元. (推举时间:60分钟) 一、选择题 1.函数f(x)=log2x-的零点所在的区间为( ) A.(0,) B.(,1) C.(1,2) D.(2,3) 答案 C 解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),且函数f(x)在(0,+∞)上为增函数. f()=log2-=-1-2=-3<0, f(1)=log21-=0-1<0, f(2)=log22-=1-=>0, f(3)=log23->1-=>0, 即f(1)·f(2)<0, ∴函数f(x)=log2x-的零点在区间(1,2)内. 2.函数f(x)=+ln,下列区间中,可能存在零点的是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(1,2)与(2,3) 答案 B 解析 f(x)=+ln=-ln(x-1),函数f(x)的定义域为(1,+∞),且为递减函数, 当1<x<2时,ln(x-1)<0,>0,所以f(x)>0,故函数在(1,2)上没有零点; f(2)=-ln 1=1>0,f(3)=-ln 2==, 由于=2≈2.828,所以>e,故ln e<ln , 即1<ln 8,所以2<ln 8,即f(3)<0,f(4)=-ln 3=-ln 3<0.故f(x)在(2,3)存在零点. 3.f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 解析 ∵2sin πx-x+1=0,∴2sin πx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sin πx与y=x-1有5个交点, ∴f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为5. 4.设函数f(x)=若方程f(x)=m有三个不同的实根,则实数m的取值范围为( ) A.[-,1] B.[-,1] C.(-,0) D.(-,0] 答案 C 解析 作出函数y=f(x)的图象,如图所示. 当x>0时,f(x)=x2-x=(x-)2-≥-,所以要使函数f(x)=m有三个不同的零点,则-<m<0,即m的取值范围为(-,0). 5.(2021·江西)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l与半圆相交于F、G两点,与三角形ABC两边相交于E、D两点.设弧的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大致是( ) 答案 D 解析 如图所示,连接OF,OG,过点O作OM⊥FG,过点A作AH⊥BC,交DE于点N. 由于弧的长度为x,所以∠FOG=x, 则AN=OM=cos , 所以==cos , 则AE=cos , ∴EB=-cos . ∴y=EB+BC+CD=-cos + =-cos +2(0<x<π). 6.已知定义在R上的函数f(x)满足: f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的全部实根之和为( ) A.-5 B.-6 C.-7 D.-8 答案 C 解析 由题意知g(x)===2+,函数f(x)的周期为2,则函数f(x),g(x)在区间[-5,1]上的图象如图所示: 由图形可知函数f(x),g(x)在区间[-5,1]上的交点为A,B,C, 易知点B的横坐标为-3,若设C的横坐标为t(0<t<1),则点A的横坐标为-4-t,所以方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的全部实根之和为-3+(-4-t)+t=-7. 二、填空题 7.若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________. 答案 (0,1] 解析 当x>0时,由f(x)=ln x=0,得x=1. 由于函数f(x)有两个不同的零点, 则当x≤0时, 函数f(x)=2x-a有一个零点, 令f(x)=0得a=2x, 由于0<2x≤20=1,所以0<a≤1, 所以实数a的取值范围是0<a≤1. 8.(2022·课标全国Ⅰ)设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________. 答案 (-∞,8] 解析 当x<1时,x-1<0,ex-1<e0=1≤2, ∴当x<1时满足f(x)≤2. 当x≥1时,≤2,x≤23=8,1≤x≤8. 综上可知x∈(-∞,8]. 9.已知函数f(x)=-m|x|有三个零点,则实数m的取值范围为________. 答案 m>1 解析 函数f(x)有三个零点等价于方程=m|x|有且仅有三个实根. ∵=m|x|⇔=|x|(x+2),作函数y=|x|(x+2)的图象,如图所示,由图象可知m应满足:0<<1, 故m>1. 10.我们把形如y=(a>0,b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字,故生动地称为“囧函数”,若当a=1,b=1时的“囧函数”与函数y=lg|x|的交点个数为n,则n=________. 答案 4 解析 由题意知,当a=1,b=1时,y== 在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y=lg|x|的图象如图所示,易知它们有4个交点. 三、解答题 11.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0). (1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点; (2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3, 令f(x)=0,得x=3或x=-1. ∴函数f(x)的零点为3和-1. (2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根. ∴b2-4a(b-1)>0恒成立, 即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立, 所以有(-4a)2-4(4a)<0⇒a2-a<0,所以0<a<1. 因此实数a的取值范围是(0,1). 12.随着机构改革工作的深化进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员2a人(140<2a<420,且a为偶数),每人每年可创利b万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利0.01b万元,但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人? 解 设裁员x人,可获得的经济效益为y万元,则 y=(2a-x)(b+0.01bx)-0.4bx=-[x2-2(a-70)x]+2ab. 依题意得2a-x≥·2a, 所以0<x≤. 又140<2a<420,即70<a<210. (1)当0<a-70≤,即70<a≤140时,x=a-70,y取到最大值; (2)当a-70>,即140<a<210时,x=,y取到最大值. 故当70<a<140时,公司应裁员(a-70)人,经济效益取到最大, 当140<a<210时,公司应裁员人, 经济效益取到最大. 13.是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由. 解 令f(x)=0,则Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8=9(a-)2+>0, 即f(x)=0有两个不相等的实数根, ∴若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可. f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0, ∴a≤-或a≥1. 检验:(1)当f(-1)=0时,a=1,所以f(x)=x2+x. 令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1. 方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故a≠1. (2)当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-. 令f(x)=0,即x2-x-=0, 解得x=-或x=3. 方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故a≠-. 综上所述,a<-或a>1.- 配套讲稿:
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