高中数学(北师大版)选修2-3教案：第3章-拓展资料：例谈回归分析的应用.docx

例谈回归分析的应用
在解很多实际应用问题时，运用回归分析的基本思想，通过构建回归模型去刻画解释变量与预报变量的关系，并利用模型，利用解释变量的某个值去猜想相应预报变量的某个值，从而使问题得到解决．
　　建立回归模型解决实际问题的步骤是：
　　（1）确定争辩对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
　　（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观看它们之间的关系；
　　（3）由阅历确定回归方程的类型，即拟合直线或拟合曲线；
　　（4）按确定规章估量回归方程中的参数，从而求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
　　（5）利用函数关系式，依据条件对所给问题进行猜想和把握，以便为决策供应依据．
　　下面举例说明．
　　例1　某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发觉，此商品的销售单价x元与日销售量y台之间有如下关系：

35
40
45
50

56
41
28
11
　　（1）y与x是否具有线性相关关系？假如具有线性相关关系，求出回归直线方程；

　　（2）设经营此商品的日销售利润为Ｐ元，依据（1）写出Ｐ关于x的函数关系式并猜想当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．
　　解析：（1）散点图如右图所示，并从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线四周，因此两个变量线性相关．
　　设回归直线为，则由公式求得．
　　；
　　（2）依题意有，
　　当时，有最大值约为426．
　　即猜想销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润．
　　点评：本题主要考查构建线性回归模型在解决实际问题中的应用．
例2　某国从1790年至1950年人口数据资料：

试利用上述资料猜想该国1980年的人口数（假设该国政治、社会、经济环境稳定，且人口数相对于时间是连续的）．
　　分析：以x轴代表年度，y轴代表人口数，建立直角坐标系，画出散点图（略），并观看散点图可以发觉，从1890年以后散点近似分布在一条直线上；而从散点图的整体趋势来看，也可以认为散点近似分布在一条抛物线上，故可接受线性回归模型拟合，或接受二次函数模型拟合．
　　解法一：由散点图可以看出，1890年以后散点大致分布在一条直线上，设线性回归直线方程为，由公式求得，，即．
　　当时，，即1980年该国人口猜想为194.859百万人．
　　解法二：从散点的整体趋势看，散点近似分布在一条以直线为对称轴，以点为顶点的抛物经一上，再任意选一点 确定抛物线方程为．
　　当时，，则该国人口猜想为216.919百万人．
　　点评：本题主要考查重视对信息、图表的分析，提取，加工和处理力气．两种解法，由于考虑问题和观看角度不同，所得到结论和答案也不相同，线性回归模型是在依据部分已知数据的基础上作出的，因此精确度比较差；而二次函数模型是依据全部已知数据的分布趋势拟合的，因而有较高的精确度．当然，同学们可以进一步利用回归分析的方法，通过利用相关指数来比较两个模型的拟合效果．