高中数学(北师大版)选修2-3教案：第2章-典型例题：正态分布.docx

正态分布
　　1．正态曲线及其性质
　　对于正态分布函数：
　　，x∈（-∞，+∞）
　　由于中学学问范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点（或计算机中的绘图工具）画出课本图1-4中的图（1）、（2）、（3），由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。
　　2．标准正态曲线
　　标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。由于它具有格外重要的地位，已特地制作了“标准正态分布表”。对于抽像函数，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义格外明显，即由正态曲线N（0，1）、x轴、直线所围成的图形的面积。再由N（0，1）的曲线关于y轴对称，可以得出等式，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率。
　　3．一般正态分布与标准正态分布的转化
　　由于一般的正态总体其图像不愿定关于y轴对称，所以，争辩其在某个区间的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。这时我们自然会思考：能否将一般的正态总体转化成标准的正态总体N（0，1）进行争辩。人们经过探究发觉：对于任一正态总体，其取值小于x的概率。对于这个公式，课本中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。这表明，对等式的来由不作要求，只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
　　4．“小概率大事”和假设检验的基本思想
　　“小概率大事”通常指发生的概率小于5%的大事，由于对于这类大事来说，在大量重复试验中，平均每试验20次，才能发生1次，所以认为在一次试验中该大事是几乎不行能发生的。这种生疏便是进行推断的动身点。关于这一点我们要有以下两个方面的生疏：一是这里的“几乎不行能发生”是针对“一次试验”来说的，由于试验次数多了，该大事当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率大事几乎不行能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。就是说，这里在概率的意义上所作的推理与过去确定性数学中的“若a则b”式的推理有所不同.
　　课本是借助于听从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想.进行假设检验一般分三步：
　　第一步，提出统计假设。课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸听从正态分布.
　　其次步，确定一次试验中的取值a是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）.
　　第三步，作出推断.假如a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；假如，由于这是小概率大事，就拒绝统计假设.
上面这种拒绝统计假设的推理，与我们过去学习过的反证法有类似之处.事实上，用反证法证明一个问题时，先否定待证命题的结论，这本身看成一个新的命题，从它动身进行推理，假如毁灭了冲突，就把这个冲突归因于前述新命题不正确，从而将它否定。否定了新命题，也就等于证明白原命题的结论.
典例剖析：
　　例1设随机变量ε听从N（0，1），求下列各式的值：
　　（1）P(ε≥2.55)； （2）P(ε<-1.44)； （3）P(|ε|<1.52)。
　　分析：一个随机变量若听从标准正态分布，可以借助于标准正态分布表，查出其值。但在标准正态分布表中只给出了，即的情形，对于其它情形一般用公式：φ(-x)=1-φ(x)；p(a<x<b)= φ(b)- φ(a)及等来转化.
　　解：（1）

　　（2）
　　；
　　（3）
　.
　　点拨：从本例可知，在标准正态分布表中只要给出了的概率，就可以利用上述三个公式求出其它情形下的概率.

　　例2设，且总体密度曲线的函数表达式为：
　　，x∈R。
　　（1）求μ，σ；（2）求及的值.
　　分析：依据表示正态曲线函数的结构特征，对比已知函数求出μ和σ.利用一般正态总体与标准正态总体N（0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决.
　　解：（1）由于，依据一般正态分布的函数表达形式，可知μ=1，，故X～N（1，2）.
　　（2）

　　.
　　又

　　.
　　点拨：在解决数学问题的过程中，将未知的，不生疏的问题转化为已知的、生疏的、已解决了的问题，是我们常用的手段与思考问题的动身点。通过本例我们还可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联.

　　例3某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N（4，0.25）.质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
　　分析：欲判定这批零件是否合格，由假设检验基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是在（μ-3σ，μ+3σ）内，还是在（μ-3σ，μ+3σ）之外。
　　解：由于圆柱形零件的外径ε～N（4，0.25），由正态分布的特征可知，正态分布N（4，0.25）在区间(4-3×0.5，4+3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而，这说明在一次试验中，毁灭了几乎不行能发生的小概率大事，依据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批产品是不合格的.
　　点拨：推断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想.

　　例4：公共汽车门的高度是依据确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，假如某地成年男子的身高ε～N（173，7）（单位：cm），问车门应设计多高（精确到1cm）？
　　分析：由题意可知，求的是车门的最低高度，可设其为xcm，使其总体在不低于x的概率小于1%.
　　解：设该地区公共汽车车门的最低高度应设为xcm，由题意，需使P(ε≥x)<1%。
　　∵ε～N（173，7），∴.查表得，解得x>179.16，即公共汽车门的高度至少应设计为180cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
　　点拨：解决本题的关键是在正确理解题意的基础上，找出正确的数学表达式；而逆向思维和逆向查表，体现解决问题时思维的机敏性.