2021届高考数学(理科-全国通用)二轮专题配套word版练习:-数列、不等式.docx
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数列、不等式 1.已知前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an,则an=. 由Sn求an时,易忽视n=1的状况. [问题1] 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=________. 答案 2.等差数列的有关概念及性质 (1)等差数列的推断方法:定义法an+1-an=d(d为常数)或an+1-an=an-an-1(n≥2). (2)等差数列的通项:an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d. (3)等差数列的前n项和:Sn=,Sn=na1+d. (4)等差数列的性质 ①当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)·d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Sn=na1+d=n2+(a1-)n是关于n的二次函数且常数项为0. ②若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列. ③当m+n=p+q时,则有am+an=ap+aq,特殊地,当m+n=2p时,则有am+an=2ap. ④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列. [问题2] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=12,S20=17,则S30为( ) A.15 B.20 C.25 D.30 答案 A 3.等比数列的有关概念及性质 (1)等比数列的推断方法:定义法=q(q为常数),其中q≠0,an≠0或=(n≥2).如一个等比数列{an}共有2n+1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则an+1=. (2)等比数列的通项:an=a1qn-1或an=amqn-m. (3)等比数列的前n项和:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==. 易错警示:由于等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n项和时,首先要推断公比q是否为1,再由q的状况选择求和公式的形式,当不能推断公比q是否为1时,要对q分q=1和q≠1两种情形争辩求解. (4)等比中项:若a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的等比中项.值得留意的是,不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个,即为±.如已知两个正数a,b(a≠b)的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为A>B. (5)等比数列的性质 当m+n=p+q时,则有am·an=ap·aq,特殊地,当m+n=2p时,则有am·an=a2p. [问题3] (1)在等比数列{an}中,a3+a8=124,a4a7=-512,公比q是整数,则a10=________. (2)各项均为正数的等比数列{an}中,若a5·a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10=________. 答案 (1)512 (2)10 4.数列求和的方法 (1)公式法:等差数列、等比数列求和公式; (2)分组求和法; (3)倒序相加法; (4)错位相减法; (5)裂项法; 如:=-;=. (6)并项法. 数列求和时要明确:项数、通项,并留意依据通项的特点选取合适的方法. [问题4] 数列{an}满足an+an+1=(n∈N,n≥1),若a2=1,Sn是{an}的前n项和,则S21的值为________. 答案 5.在求不等式的解集、定义域及值域时,其结果确定要用集合或区间表示,不能直接用不等式表示. [问题5] 不等式-3x2+5x-2>0的解集为________. 答案 6.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数,必需争辩这个数的正负.两个不等式相乘时,必需留意同向同正时才能进行. [问题6] 已知a,b,c,d为正实数,且c>d,则“a>b”是“ac>bd”的________条件. 答案 充分不必要 7.基本不等式:≥ (a,b>0) (1)推广: ≥≥≥(a,b>0). (2)用法:已知x,y都是正数,则 ①若积xy是定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2; ②若和x+y是定值s,则当x=y时,积xy有最大值s2. 易错警示:利用基本不等式求最值时,要留意验证“一正、二定、三相等”的条件. [问题7] 已知a>0,b>0,a+b=1,则y=+的最小值是________. 答案 9 8.解线性规划问题,要留意边界的虚实;留意目标函数中y的系数的正负;留意最优整数解. [问题8] 设定点A(0,1),动点P(x,y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是________. 答案 易错点1 忽视对等比数列中公比的分类争辩致误 例1 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则数列的公比q是________. 错解 -1 找准失分点 当q=1时,符合要求.很多考生在做本题时都想当然地认为q≠1. 正解 ①当q=1时,S3+S6=9a1,S9=9a1, ∴S3+S6=S9成立. ②当q≠1时,由S3+S6=S9 得+= ∴q9-q6-q3+1=0,即(q3-1)(q6-1)=0. ∵q≠1,∴q3-1≠0,∴q6=1,∴q=-1. 答案 1或-1 易错点2 忽视分类争辩或争辩不当致误 例2 若等差数列{an}的首项a1=21,公差d=-4,求:Sk=|a1|+|a2|+|a3|+…+|ak|. 错解 由题意,知an=21-4(n-1)=25-4n, 因此由an≥0,解得n≤,即数列{an}的前6项大于0,从第7项开头,以后各项均小于0. |a1|+|a2|+|a3|+…+|ak| =(a1+a2+a3+…+a6)-(a7+a8+…+ak) =2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+a8+…+ak) =2k2-23k+132 所以Sk=2k2-23k+132. 找准失分点 忽视了k≤6的状况,只给出了k≥7的状况. 正解 由题意,知an=21-4(n-1)=25-4n,因此由an≥0,解得n≤,即数列{an}的前6项大于0,从第7项开头,以后各项均小于0. 当k≤6时, Sk=|a1|+|a2|+…+|ak|=a1+a2+…+ak =-2k2+23k. 当k≥7时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|ak| =(a1+a2+a3+…+a6)-(a7+a8+…+ak) =2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+a8+…+ak) =2k2-23k+132, 所以Sk=. 易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误 例3 各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10=10,S30=70,则S40=________. 错解 150或-200 找准失分点 数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30的公比q10>0.忽视了此隐含条件,就产生了增解-200. 正解 记b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30, b1,b2,b3,b4是以公比为r=q10>0的等比数列. ∴b1+b2+b3=10+10r+10r2=S30=70, ∴r2+r-6=0,∴r=2或r=-3(舍去), ∴S40=b1+b2+b3+b4==150. 答案 150 易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误 例4 已知:a>0,b>0,a+b=1,求2+2的最小值. 错解 由2+2=a2+b2+++4 ≥2ab++4≥4+4=8, 得2+2的最小值是8. 找准失分点 两次利用基本不等式,等号不能同时取到. 正解 2+2 =a2+b2+++4=(a2+b2)++4 =[(a+b)2-2ab]++4 =(1-2ab)+4 由ab≤2=,得1-2ab≥1-=, 且≥16,1+≥17. ∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时,等号成立),∴2+2的最小值是. 1.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7等于( ) A.10 B.18 C.20 D.28 答案 C 解析 由于a3+a8=10,所以由等差数列的性质,得a5+a6=10, 所以3a5+a7=2a5+2a6=20,选C. 2.若<<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b中,正确的不等式有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案 B 解析 由<<0,得a<0,b<0, 故a+b<0且ab>0,所以a+b<ab,即①正确; 由<<0,得>, 两边同乘|ab|,得|b|>|a|,故②错误; 由①②知|b|>|a|,a<0,b<0,所以a>b,即③错误,选B. 3.已知,x>1,y>1,且ln x,,ln y成等比数列,则xy有( ) A.最小值e B.最小值 C.最大值e D.最大值 答案 A 解析 x>1,y>1,且ln x,,ln y成等比数列,ln x·ln y=()2,即=ln x·ln y≤()2,ln x+ln y≥1,ln xy≥1,故xy≥e. 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5等于( ) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 答案 A 解析 ∵{an}是等比数列, ∴S5,S10-S5,S15-S10也构成等比数列, 记S5=2k(k≠0),则S10=k,可得S10-S5=-k, 进而得S15-S10=k,于是S15=k, 故S15∶S5=k∶2k=3∶4. 5.把一数列依次按第一个括号内一个数,其次个括号内两个数,第三个括号内三个数,第四个括号内一个数,…循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),…,则第50个括号内各数之和为( ) A.195 B.197 C.392 D.396 答案 C 解析 将三个括号作为一组,则由50=16×3+2,知第50个括号应为第17组的其次个括号,即第50个括号中应是两个数.又由于每组中含有6个数,所以第48个括号的最末一个数为数列{2n-1}的第16×6=96项,第50个括号的第一个数应为数列{2n-1}的第98项,即为2×98-1=195,其次个数为2×99-1=197,故第50个括号内各数之和为195+197=392.故选C. 6.已知点A(m,n)在直线x+2y-1=0上,则2m+4n的最小值为________. 答案 2 解析 点A(m,n)在直线x+2y-1=0上,则m+2n=1;2m+4n=2m+22n≥2=2=2. 7.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是________. 答案 4 解析 由x,a,b,y成等差数列知a+b=x+y,① 由x,c,d,y成等比数列知cd=xy,② 把①②代入得==≥4,∴的最小值为4. 8.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=·的最大值为________. 答案 4 解析 画出可行域D,如图中阴影部分所示,而z=·=x+y, ∴y=-x+z, 令l0:y=-x, 将l0平移到过点(,2)时, 截距z有最大值, 故zmax=×+2=4. 9.已知函数f(x)=(a>0,a≠1).数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是单调递增数列,则实数a的取值范围是________. 答案 (4,8) 解析 ∵{an}是单调递增数列, ∴,, ∴4<a<8. 10.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足8Sn=a+4an+3,且a2是a1和a7的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)符号[x]表示不超过实数x的最大整数,记bn=[log2()],求b1+b2+b3+…+b2n. 解 (1)由8Sn=a+4an+3,① 知8Sn-1=a+4an-1+3(n≥2,n∈N).② 由①-②得8an=(an-an-1)(an+an-1)+4an-4an-1, 整理得(an-an-1-4)(an+an-1)=0(n≥2,n∈N). ∵{an}为正项数列, ∴an+an-1>0, ∴an-an-1=4(n≥2,n∈N). ∴{an}为公差为4的等差数列,由8a1=a+4a1+3,得a1=3或a1=1. 当a1=3时,a2=7,a7=27,不满足a2是a1和a7的等比中项. 当a1=1时,a2=5,a7=25,满足a2是a1和a7的等比中项. ∴an=1+(n-1)4=4n-3. (2)由an=4n-3得bn=[log2()]=[log2n], 由符号[x]表示不超过实数x的最大整数知,当2m≤n<2m+1时, [log2n]=m,所以令S=b1+b2+b3+…+b2n=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log22n] =0+1+1+2+…+3+…+4+…+n-1+…+n. ∴S=1×21+2×22+3×23+4×24+(n-1)×2n-1+n,① 2S=1×22+2×23+3×24+4×25+(n-1)×2n+2n.② ①-②得 -S=2+22+23+24+…+2n-1-(n-1)2n-n =-(n-1)2n-n=(2-n)2n-n-2, ∴S=(n-2)2n+n+2, 即b1+b2+b3+…+b2n=(n-2)2n+n+2.- 配套讲稿:
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