山东省德州市某中学2022届高三上学期10月月考数学(文)试题-Word版含答案.docx

高三月考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，，则M∩N=（　　）
　 A． （﹣1，1） B． （﹣2，1） C． （﹣2，﹣1） D． （1，2）

2．已知i是虚数单位，设复数z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，则在复平面内对应的点在（　　）
　 A． 第一象限 B． 其次象限 C． 第三象限 D． 第四象限

3．已知向量，的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（　　）
　 A． B． 2 C． 3 D． 4

4．已知sinθ+cosθ=（0＜θ＜），则sinθ﹣cosθ的值为（　　）
　 A． B． C． D．

5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（　　）
　 A． ﹣10 B． ﹣8 C． ﹣6 D． ﹣4

6．下列命题错误的是（　　）
　 A． 命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1
　 B． “am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要条件
　 C． 命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0
　 D． 命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题

7．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（　　）

　 A． B． C． D．

8．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（　　）

　 A． 50m B． 50m C． 25m D． m

9．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（　　）

　 A． B． C． D．

10．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；
④若l∥m，则α⊥β
其中正确命题的个数是（　　）
　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

11．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）
　 A． （﹣∞，2） B． （﹣∞，] C． （﹣∞，2] D． ，则方程2﹣|x|=cos2πx全部实数根的个数为（　　）
　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=的最小值为　　　　　　．

14．已知x＞0，y＞0，若+＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　．

15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于　　　　　　．

16．下面四个命题：
①已知函数且f（a）+f（4）=4，那么a=﹣4；
②要得到函数的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移单位；
③若定义在（﹣∞，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则f（x）是周期函数；
④已知奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0解集{x|x＜﹣1}．
其中正确的是　　　　　　．

三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且（c是常数，n∈N*），a2=6．
（Ⅰ）求c的值及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：．

18．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若，求cosα的值．

20．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC．
（1）求证：平面AB1C1⊥平面AC1；
（2）若AB1⊥A1C，求线段AC与AA1长度之比；
（3）若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

21．设函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex﹣ax，其中a为正实数．
（l）若x=0是函数g（x）的极值点，争辩函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此推断曲线g（x）与曲线y=ax2﹣ax在（1，+∞）交点个数．

高三月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，，则M∩N=（　　）
　 A． （﹣1，1） B． （﹣2，1） C． （﹣2，﹣1） D． （1，2）

考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 首先化简集合M和N，然后依据交集的定义求出M∩N即可．
解答： 解：∵x2+x﹣2＜0即（x+2）（x﹣1）＜0解得：2＜x＜1
∴M={x|﹣2＜x＜1}
∵解得：x＜﹣1
∴N={x|x＜﹣1}
∴M∩N=（﹣2，﹣1）
故选：C．
点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．已知i是虚数单位，设复数z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，则在复平面内对应的点在（　　）
　 A． 第一象限 B． 其次象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 直接把复数z1，z2代入，然后利用复数代数形式的除法运算化简求值，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．
解答： 解：∵z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，
∴=，
则在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．
故选：D．
点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3．已知向量，的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（　　）
　 A． B． 2 C． 3 D． 4

考点： 平面对量数量积的运算；向量的模．
专题： 平面对量及应用．
分析： 将|2﹣|=平方，然后将夹角与||=1代入，得到||的方程，解方程可得．
解答： 解：由于向量，的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，
所以42﹣4•+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，
解得||=3或||=﹣（舍）．
故选：C．
点评： 本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想．

4．已知sinθ+cosθ=（0＜θ＜），则sinθ﹣cosθ的值为（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 同角三角函数间的基本关系．
专题： 计算题．
分析： 将已知等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sinθcosθ的值，再将所求式子平方，利用完全平方公式开放，并利用同角三角函数间的基本关系化简，把2sinθcosθ的值代入，开方即可求出值．
解答： 解：将已知的等式左右两边平方得：（sinθ+cosθ）2=，
∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=，
∴（sinθ﹣cosθ）2=sin2θ﹣2sinθcosθ+cos2θ=1﹣2sinθcosθ=，
∵0＜θ＜，∴sinθ＜cosθ，即sinθ﹣cosθ＜0，
则sinθ﹣cosθ=﹣．
故选B
点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，娴熟把握基本关系是解本题的关键．

5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（　　）
　 A． ﹣10 B． ﹣8 C． ﹣6 D． ﹣4

考点： 等比数列的性质．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意可得，a3=a1+4，a4=a1+6，依据 （a1+4）2=a1 （a1+6），求得a1的值．从而得解．
解答： 解：由题意可得，a3=a1+4，a4=a1+6．∵a1，a3，a4成等比数列，
∴（a1+4）2=a1 （a1+6），
∴a1=﹣8，
∴a2等于﹣6，
故选：C
点评： 本题考查等差数列的通项公式，等比数列的定义，求出a1的值是解题的难点．

6．下列命题错误的是（　　）
　 A． 命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1
　 B． “am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要条件
　 C． 命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0
　 D． 命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题

考点： 命题的真假推断与应用．
专题： 简易规律．
分析： 对于A，写出逆否命题，比照后可推断真假；
对于B，利用必要不充分条件的定义推断即可；
对于C，写出原命题的否定形式，推断即可．
对于D，依据复合命题真值表推断即可；
解答： 解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1，故A正确；
“am2＜bm2”⇒”a＜b”为真，但”a＜b”⇒“am2＜bm2”为假（当m=0时不成立），故“am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要条件，故B正确；
命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，故C正确；
命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”中至少有一个是真命题，故D错误，
故选：D
点评： 本题借助考查命题的真假推断，考查充分条件、必要条件的判定及复合命题的真假判定．

7．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 简洁空间图形的三视图；由三视图求面积、体积．
专题： 计算题．
分析： 由题意可得侧视图为三角形，且边长为边长为1的正三角形的高线，高等于正视图的高，分别求解代入三角形的面积公式可得答案．
解答： 解：∵边长为1的正三角形的高为=，
∴侧视图的底边长为，
又侧视图的高等于正视图的高，
故所求的面积为：S==
故选A
点评： 本题考查简洁空间图形的三视图，涉及三角形面积的求解，属基础题．

8．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（　　）

　 A． 50m B． 50m C． 25m D． m

考点： 正弦定理的应用．
专题： 计算题．
分析： 由题意及图知，可先求出∠BAC，再由正弦定理得到AB=代入数据即可计算出A，B两点的距离
解答： 解：由题意及图知，∠BAC=30°，又BC=50m，∠BCA=45°
由正弦定理得AB==50m
故选A
点评： 本题考查利用正弦定理求长度，是正弦定理应用的基本题型，计算题．

9．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 利用导数争辩函数的单调性．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 依据函数y=﹣xf′（x）的图象，依次推断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可．
解答： 解：由函数y=﹣xf′（x）的图象可知：
当x＜﹣1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增；
当﹣1＜x＜0时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减；
当0＜x＜1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减；
当x＞1时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增．
综上所述，y=f（x）的图象可能是B，
故选：B．
点评： 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类争辩的思想，属于基础题．

10．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；
④若l∥m，则α⊥β
其中正确命题的个数是（　　）
　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

考点： 等差数列的性质．
专题： 综合题．
分析： 利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一推断，成立的证明，不成立的可举出反例．
解答： 解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确．
②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．
③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能推断，③错误．
④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m⊂β，∴α⊥β
故选C
点评： 本题主要考查显现，线面，面面位置关系的推断，属于概念题．

11．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）
　 A． （﹣∞，2） B． （﹣∞，] C． （﹣∞，2] D． ，
故选：B．
点评： 本题考查的学问点是分段函数的应用，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．

12．己知x∈，则方程2﹣|x|=cos2πx全部实数根的个数为（　　）
　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

考点： 根的存在性及根的个数推断．
专题： 数形结合；函数的性质及应用．
分析： 在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的图象，依据图象交点的个数，可得方程解的个数．
解答： 解：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的图象

依据函数图象可知，图象交点的个数为5个
∴方程2﹣|x|=cos2πx全部实数根的个数为5个
故选D．
点评： 本题考查方程解的个数，考查函数图象的作法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=的最小值为　1　．

考点： 简洁线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．
解答： 解：z的几何意义为区域内点到点G（0，﹣1）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知，AG的斜率最小，
由解得，即A（2，1），
则AG的斜率k=，
故答案为：1

点评： 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及直线斜率的计算，利用数形结合是解决本题的关键．

14．已知x＞0，y＞0，若+＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是　﹣4＜m＜2　．

考点： 函数恒成立问题；基本不等式．
专题： 计算题．
分析： 依据题意，由基本不等式的性质，可得+≥2=8，即+的最小值为8，结合题意，可得m2+2m＜8恒成立，解可得答案．
解答： 解：依据题意，x＞0，y＞0，则＞0，＞0，
则+≥2=8，即+的最小值为8，
若+＞m2+2m恒成立，必有m2+2m＜8恒成立，
m2+2m＜8⇔m2+2m﹣8＜0，
解可得，﹣4＜m＜2，
故答案为﹣4＜m＜2．
点评： 本题考查不等式的恒成立问题与基本不等式的应用，关键是利用基本不等式求出+的最小值．

15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于　8π　．

考点： 球的体积和表面积．
专题： 计算题．
分析： 通过已知体积求出底面外接圆的半径，确定球心为O的位置，求出球的半径，然后求出球的表面积．
解答： 解：在△ABC中AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，
可得BC=，
可得△ABC外接圆半径r=1，
三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，
三棱柱为直三棱柱，侧面BAA1B1是正方形它的中心是球心O，
球的直径为：BA1=2，球半径R=，
故此球的表面积为4πR2=8π
故答案为：8π

点评： 本题是中档题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象力气，计算力气．

16．下面四个命题：
①已知函数且f（a）+f（4）=4，那么a=﹣4；
②要得到函数的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移单位；
③若定义在（﹣∞，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则f（x）是周期函数；
④已知奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0解集{x|x＜﹣1}．
其中正确的是　③　．

考点： 命题的真假推断与应用．
专题： 综合题；简易规律．
分析： ①已知函数，分a＜0，a＞0，利用f（a）+f（4）=4，即可求出a；
②要得到函数的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移单位；
③利用f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以f（x）是以2为周期的周期函数；④已知奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（﹣1）=0，则f（1）=0，在（﹣∞，0）为增函数，即可解不等式f（x）＜0．
解答： 解：①已知函数，a＜0时，f（a）+f（4）=4，那么a=﹣4；a＞0时，f（a）+f（4）=4，那么a=4，故不正确；
②要得到函数的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移单位，故不正确；
③若定义在（﹣∞，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以f（x）是周期函数，周期为2；
④已知奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（﹣1）=0，则f（1）=0，在（﹣∞，0）为增函数，不等式f（x）＜0等价于f（x）＜f（﹣1）或f（x）＜f（1），
解集{x|x＜﹣1}∪{x|0＜x＜1}，故不正确．
故答案为：③．
点评： 本题考查命题的真假的推断，考查分段函数，函数的图象变换，周期性，奇偶性，考查同学分析解决问题的力气，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且（c是常数，n∈N*），a2=6．
（Ⅰ）求c的值及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：．

考点： 等差数列的前n项和；数列的求和．
专题： 计算题；证明题．
分析： （Ⅰ）依据，令n=1代入求出a1，令n=2代入求出a2，由a2=6即可求出c的值，由c的值即可求出首项和公差，依据首项和公差写出等差数列的通项公式即可；
（Ⅱ）利用数列的通项公式列举出各项并代入所证不等式的坐标，利用=（﹣），把各项拆项后抵消化简后即可得证．
解答： 解：（Ⅰ）解：由于，
所以当n=1时，，解得a1=2c，
当n=2时，S2=a2+a2﹣c，即a1+a2=2a2﹣c，解得a2=3c，
所以3c=6，解得c=2，
则a1=4，数列{an}的公差d=a2﹣a1=2，
所以an=a1+（n﹣1）d=2n+2；
（Ⅱ）由于
=
=
=
=
=．
由于n∈N*，所以．
点评： 此题考查同学机敏运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，会利用拆项法进行数列的求和，是一道综合题．

18．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F为PC的中点，可得AF⊥PC．利用线面垂直的判定与性质定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可证明PC⊥平面AEF．
（2）利用直角三角形的边角关系可得BC，CD．SABCD=．利用V=，即可得出．
解答： （1）证明：在Rt△ABC，∠BAC=60°，
∴AC=2AB，
∵PA=2AB，
∴PA=CA，
又F为PC的中点，
∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．
则EF⊥PC．
∵AF∩EF=F，
∴PC⊥平面AEF．
（2）解：在Rt△ABC中，AB=1，
∠BAC=60°，
∴BC=，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2，AD=4．
∴SABCD==．
则V==．

点评： 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角关系、四棱锥的体积计算公式，考查了推理力气与计算力气，属于中档题．

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若，求cosα的值．

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．
专题： 作图题；综合题．
分析： （I）观看图象可得函数的最值为1，且函数先毁灭最大值可得A=1；函数的周期T=π，结合周期公式T=可求ω；由函数的图象过（）代入可得φ
（II）由（I）可得f（x）=sin（2x+），从而由f（）=，代入整理可得sin（）=，结合已知0＜a＜，可得cos（α+）=．，利用，代入两角差的余弦公式可求
解答： 解：（Ⅰ）由图象知A=1
f（x）的最小正周期T=4×（﹣）=π，故ω==2
将点（，1）代入f（x）的解析式得sin（+φ）=1，
又|φ|＜，∴φ=
故函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）

（Ⅱ）f（）=，即sin（）=，留意到0＜a＜，则＜＜，
所以cos（α+）=．
又cosα==cos（α+）cos+sin（α+）sin=

点评： 本题主要考查了（i）由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要推断是先毁灭最大值或是最小值，从而推断A的正负号）由周期求解ω=，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解φ；
（ii）三角函数的同角平方关系，两角差的余弦公式，及求值中的拆角的技巧，要把握常见的拆角技巧：①2α=（α+β）+（α﹣β）②2β=（α+β）﹣（α﹣β）③α=（α+β）﹣β④β=（α+β）﹣α

20．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC．
（1）求证：平面AB1C1⊥平面AC1；
（2）若AB1⊥A1C，求线段AC与AA1长度之比；
（3）若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题： 证明题；空间位置关系与距离．
分析： （1）由于已知，可得B1C1⊥CC1，又AC⊥BC，可得B1C1⊥A1C1，从而B1C1⊥平面AC1，又B1C1⊂平面AB1C1，从而平面AB1C1⊥平面AC1．
（2）由（1）知，B1C1⊥A1C，若AB1⊥A1C，则可得：A1C⊥平面AB1C1，从而A1C⊥AC1，由于ACC1A1是矩形，故AC与AA1长度之比为1：1．
（3）证法一：设F是BB1的中点，连结DF、EF、DE．则易证：平面DEF∥平面AB1C1，从而DE∥平面AB1C1．
证法二：设G是AB1的中点，连结EG，则易证EGDC1．即有DE∥C1G，DE∥平面AB1C1．
解答： 解：（1）由于ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以B1C1⊥CC1；
又由于AC⊥BC，所以B1C1⊥A1C1，所以B1C1⊥平面AC1．
由于B1C1⊂平面AB1C1，从而平面AB1C1⊥平面AC1．
（2）由（1）知，B1C1⊥A1C．所以，若AB1⊥A1C，则可
得：A1C⊥平面AB1C1，从而A1C⊥AC1．
由于ACC1A1是矩形，故AC与AA1长度之比为1：1．
（3）点E位于AB的中点时，能使DE∥平面AB1C1．
证法一：设F是BB1的中点，连结DF、EF、DE．
则易证：平面DEF∥平面AB1C1，从而
DE∥平面AB1C1．
证法二：设G是AB1的中点，连结EG，则易证EGDC1．
所以DE∥C1G，DE∥平面AB1C1．
点评： 本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本学问的考查．

21．设函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex﹣ax，其中a为正实数．
（l）若x=0是函数g（x）的极值点，争辩函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此推断曲线g（x）与曲线y=ax2﹣ax在（1，+∞）交点个数．

考点： 利用导数争辩函数的极值；利用导数争辩函数的单调性．
专题： 计算题；导数的综合应用．
分析： （1）求出g（x）的导数，令它为0，求出a=1，再求f（x）的导数，令它大于0或小于0，即可得到单调区间；
（2）求出f（x）的导数，争辩a的范围，由条件得到a≥1，再由g（x）的导数不小于0在（1，+∞）上恒成立，求出a≤e，令即a=，令h（x）=，求出导数，求出单调区间，推断极值与e的大小即可．
解答： 解：（1）由g′（x）=ex﹣a，
g′（0）=1﹣a=0得a=1，f（x）=x﹣lnx
∵f（x）的定义域为：（0，+∞），，
∴函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．
（2）由
若0＜a＜1则f（x）在（1，+∞）上有最小值f（），
当a≥1时，f（x）在（1，+∞）单调递增无最小值．
∵g（x）在（1，+∞）上是单调增函数
∴g'（x）=ex﹣a≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≤e，
综上所述a的取值范围为，
此时即a=，令h（x）=，h′（x）=，
则 h（x）在（0，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，
微小值为．故两曲线没有公共点．
点评： 本题考查导数的综合应用：求单调区间，求极值和最值，考查分类争辩的思想方法，曲线与曲线交点个数转化为函数极值或最值问题，属于中档题．