【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第5章-第1节-平面向量的概念与线性运算.docx

第五章　第一节

一、选择题
1．(2022·北京东城模拟)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.假如c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向　 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向　 D．k＝－1且c与d反向
[答案]　D
[解析]　∵c∥d，∴存在λ，使得c＝λd，
即ka＋b＝λ(a－b)，
∴解得
此时c＝－d.∴c与d反向．
2．(文)(2022·南通中学月考)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)
A．＋＝0　　 　　 B．＋＝0
C．＋＝0　 D．＋＋＝0
[答案]　B
[解析]　如图，依据向量加法的几何意义，＋＝2⇔P是AC的中点，故＋＝0.

(理)已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是(　　)
A．　 B．
C．－3　 D．0
[答案]　D
[解析]　＝－，＝－.

∴＝－－＝－－.
∴＝－，
∴＝－.
又＝r＋s，∴r＝，s＝－，
∴r＋s＝0.
3．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b　 B．a∥b
C．a＝2b　 D．a∥b且|a|＝|b|
[答案]　C
[解析]　本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念．
因表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，要使＝成立，则必需a与b同向共线，所以由a＝2b可得出＝.
[点评]　a＝－b时，a与b方向相反；a∥b时，a与b方向相同或相反．因此A、B、D都不能推出＝.
4．(文)(2021·辽宁五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)
A．2　　　 B．4　　　
C．6　　　 D．8
[答案]　A
[解析]　由|＋|＝|－|两边平方得2＋2＋2·＝2＋2－2·，即·＝0，
所以⊥，∴AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，又由2＝16得||＝4，所以||＝2.
(理) (2022·山东烟台期末)如图，O为线段A0A2021外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A2021中任意相邻两点的距离相等，＝a，OA2021＝b，用a，b表示＋＋＋…＋OA2021，其结果为(　　)

A．1006(a＋b)　 B．1007(a＋b)
C．2022(a＋b)　 D．2022(a＋b)
[答案]　B
[解析]　设A0A2021的中点为A，则A也是A1A2022，…，A1006A1007的中点，由向量的中点公式可得＋OA2021＝2＝a＋b，同理可得＋OA2022＝＋OA2011＝…＝OA1006＋OA1007＝a＋b，
故＋＋＋＋…＋OA2021＝1007×2＝1007(a＋b)，选B．
5．(文)(2022·北京东城期末)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是(　　)
A．[0,1]　 B．[0，]
C．[0，]　 D．[，2]
[答案]　C
[解析]　由题意可求得AD＝1，CD＝，
所以＝2.
由于点E在线段CD上，
所以＝λ(0≤λ≤1)．
由于＝＋，
又＝＋μ＝＋2μ＝＋，
所以＝1，即μ＝.
由于0≤λ≤1，所以0≤μ≤，故选C．
(理)设＝e1，＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|AP|∶|PB|＝4，如图所示，则＝(　　)

A．e1－e2 B．e1＋e2
C．e1＋e2 D．e1－e2
[答案]　C
[解析]　＝4，∴＝＋＝5，
＝＋＝－
＝－(－)＝＋＝e1＋e2.
6．(2021·湖南衡阳八中月考)向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则λ满足(　　)
A．λ<－　 B．λ>－
C．λ>－且λ≠0　 D．λ<－且λ≠－5
[答案]　C
[解析]　当λ＝0时，a与a＋λb平行，其夹角为0°，∴λ≠0，由a与a＋λb的夹角为锐角，可得a·(a＋λb)＝(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＝3λ＋5>0，解得λ>－，综上可得λ的取值范围为λ>－且λ≠0，故应选C．
二、填空题
7．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
[答案]　1
[解析]　a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3) ，由于a－2b与c平行，所以×－3k＝0，所以k＝1.
[点评]　向量共线的应用中留意事项
(1)向量共线的充要条件中，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要留意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)设＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
8．(文)在△ABC中，AB＝2AC＝2，·＝－1，若＝x1＋x2(O是△ABC的外心)，则x1＋x2的值为________．
[答案]　
[解析]　O为△ABC的外心，＝x1＋x2，·＝x1·＋x2·，由向量数量积的几何意义，·＝||2＝2，∴4x1－x2＝2，①
又·＝x1·＋x2·，∴－x1＋x2＝，②
联立①②，解得x1＝，x2＝，∴x1＋x2＝.
(理)(2021·保定调研)已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在其次象限，且∠AOC＝135°，设＝－＋λ(λ∈R)，则λ的值为________．
[答案]　
[解析]　由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝－x(x<0)上，设点C的坐标为(a，－a)，a<0，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝.
9．(文)(2021·广东中山一模)在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
[答案]　
[解析]　如图，设＝a，＝b，
则＝＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b，
∴＋＝(a＋b)＝，
即＝＋.
∴λ＝μ＝，λ＋μ＝.
(理) (2022·北京房山期末统考)如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

[答案]　
[解析]　以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系．所以C(1,0)，A(0,1)，B(cos30°，－sin30°)，即B(，－)．
则有＝(1,0)，＝(0,1)，＝(，－)．
∴＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(，－)＝(μ，λ－μ)＝(1,0)，
∴⇒
∴λ＋μ＝.
三、解答题
10．(2022·福建三明检测)已知向量a＝(sinα，－2)，b＝(1，cosα)，其中α∈(0，)．
(1)向量a，b能平行吗？请说明理由．
(2)若a⊥b，求sinα和cosα的值．
(3)在(2)的条件下，若cosβ＝，β∈(0，)，求α＋β的值．
[解析]　(1)向量a，b不能平行．若平行，需sinαcosα＋2＝0，即sin2α＝－4，而－4∉[－1,1]，
∴向量a，b不能平行．
(2)∵a⊥b，∴a·b＝sinα－2cosα＝0，
即sinα＝2cosα.
又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴4cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝，
∴sin2α＝.又α∈(0，)，
∴sinα＝，cosα＝.
(3)由(2)知sinα＝，cosα＝，cosβ＝，β∈(0，)，得sinβ＝.
则cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.
又α＋β∈(0，π)，则α＋β＝.

一、选择题
11．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)
A．　 B．
C．－　 D．－
[答案]　A
[解析]　由于＝2，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，结合＝＋λ，知λ＝.
12．(2022·广东佛山二模)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)
A．2　　　 B．4　　　
C．6　　　 D．8
[答案]　D
[分析]　先由A，B，C三点共线，找出a，b的关系，然后“1”的代换，利用基本不等式求解．
[解析]　方法一：由题意可得，＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，
所以＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．
又∵A，B，C三点共线，
∴∥，即(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，
∴2a＋b＝1，
又∵a>0，b>0，
∴＋＝(＋)·(2a＋b)＝4＋(＋)≥4＋4＝8，当且仅当＝时，取“＝”．故选D．
方法二：kAB＝，kAC＝，
∵A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，∴2a＋b＝1，所以＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，∴＋的最小值是8.
13．(文)(2021·山西高校附中)已知△ABC是边长为2的等边三角形，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　D
[解析]　·＝(＋)(＋)＝·＋·＋·＋·
＝·－λ·－(1－λ)·＋λ(1－λ)·
＝2(－λ2＋λ＋1)－4λ－4(1－λ)
＝－2λ2＋2λ－2＝－，∴λ＝.
(理)已知向量＝(2，x－1)，＝(1，－y)(xy>0)，且∥，则＋的最小值等于(　　)
A．2　　　 B．4　　　
C．8　　　 D．16
[答案]　C
[解析]　由于∥，所以2(－y)－(x－1)＝0，即x＋2y＝1，所以(＋)＝(＋)(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8(当且仅当x＝，y＝时等号成立)．故选C．
14．(2021·保定模拟)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)

A．3　　 B．　　
C．2　　 D．
[分析]　由M、N、G三点共线知，存在实数λ、μ使＝λ＋μ，结合条件＝x，＝y，可将用，表示，又G为△ABC的重心，用，表示的表示式唯一，可求得x，y的关系式．
[答案]　B
[解析]　法1：由点G是△ABC的重心，知＋＋＝0，得－＋(－)＋(－)＝0，则＝(＋)．又M、N、G三点共线(A不在直线MN上)，于是存在λ，μ∈R，使得＝λ＋μ(且λ＋μ＝1)，则＝λx＋μy＝(＋)，
所以
于是得＋＝3，所以＝＝.
法2：特殊化法，利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.
二、填空题
15．(文)已知：||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R＋)，则＝________.
[答案]　3
[解析]　如图，设m＝，n＝，则＝＋，

∵∠AOC＝30°，∴||·cos30°＝||＝m||＝m，
||·sin30°＝||＝n||＝n，
两式相除得：＝＝＝，∴＝3.
(理)(2022·江苏苏州一模)如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

[答案]　2
[解析]　连接AO，则＝(＋)
＝＋，
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，
∴m＋n＝2.
16．(2022·吉林长春一模)设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为________．
[答案]　3
[解析]　设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(＋)＋2(＋)＝0，即2＋4＝0，所以＝－2，说明M，O，N三点共线，即O为中位线MN上的一个三等分点，S△AOC＝S△ANC＝·S△ABC＝S△ABC，所以＝3.

三、解答题
17．(文)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)，
(1)当x、y为何值时，a与b共线？
(2)是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
[解析]　(1)∵a与b共线，
∴存在非零实数λ使得a＝λb，
∴⇒
(2)由a⊥b⇒(2x－y＋1)×2＋(x＋y－2)×(－2)＝0⇒x－2y＋3＝0.①
由|a|＝|b|⇒(2x－y＋1)2＋(x＋y－2)2＝8.②
由①②解得或
∴xy＝－1或xy＝.
(理)已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)，向量＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？
(2)t为何值时，点P在其次象限？
(3)四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
(4)求点P的轨迹方程．
[解析]　∵＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)
＝(1＋3t,2＋3t)，∴P(1＋3t,2＋3t)．
(1)∵P在x轴上，∴2＋3t＝0即t＝－.
(2)由题意得∴－<t<－.
(3)∵＝(3,3)，＝(1＋3t,2＋3t)．
若四边形ABPO为平行四边形，则＝，
∴而上述方程组无解，
∴四边形ABPO不行能为平行四边形．
(4)∵＝(1＋3t,2＋3t)，
设＝(x，y)，则
∴x－y＋1＝0为所求点P的轨迹方程．
18．(文)(2022·郑州市质检)已知向量m＝(cosA，－sinA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝cos2C，A，B，C为△ABC的内角．
(1)求角C的大小；
(2)若AB＝6，且·＝18，求AC，BC的长．
[解析]　(1)m·n＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)，
由于A＋B＋C＝π，所以cos(A＋B)＝－cosC＝cos2C，
即2cos2C＋cosC－1＝0，
故cosC＝或cosC＝－1，
又0<C<π，所以C＝.
(2)由于·＝18，所以CA·CB＝36，　①
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos60°，
及AB＝6得，AC＋BC＝12，　②
由①、②解得AC＝6，BC＝6.
(理)(2022·山西高校附中月考)设向量a＝(1，cos2θ)，b＝(2,1)，c＝(4sinθ，1)，d＝(sinθ，1)，其中θ∈(0，)．
(1)求a·b－c·d的取值范围；
(2)若函数f(x)＝|x－1|，比较f(a·b)与f(c·d)的大小．
[解析]　(1)∵a·b＝2＋cos2θ，c·d＝2sin2θ＋1＝2－cos2θ
∴a·b－c·d＝2cos2θ，
∵0<θ<，∴0<2θ<，
∴0<2cos2θ<2，∴a·b－c·d的取值范围是(0,2)．
(2)∵f(a·b)＝|2＋cos2θ－1|＝|1＋cos2θ|＝2cos2θ，
f(c·d)＝|2－cos2θ－1|＝|1－cos2θ|＝2sin2θ，
∴f(a·b)－f(c·d)＝2(cos2θ－sin2θ)＝2cos2θ，
∵0<θ<，∴0<2θ<，∴2cos2θ>0，
∴f(a·b)>f(c·d)．