高中数学(北师大版)选修2-3教案：第2章-典例解析：二项分布.docx

有关二项分布的典型问题分析
二项分布是在n次独立重复试验中引入的一个概念，它是一种常见的、重要的离散型随机变量的概率分布，引入他们实际上是对独立重复试验从概率分布角度的进一步争辩.然而我们在利用二项分布原理解决实际问题时只留意到两点，即解释为什么可以看成二项分布模型，其次是考虑到它的计算，却往往忽视对计算结果进行解释，造成初学者无法摆脱学问上的种种困惑.鉴于此，我们选取几个典型案例进行剖析，供参考.
一 保险问题
例1设某保险公司有10000人参与人身意外保险.该公司规定:每人每年付公司120元，若逢意外死亡，公司将赔偿10000元.若每人每年死亡率为0.006，试争辩该公司是否会赔本，其利润状况如何.（不考虑公司的其它赔偿费用、其他开支和其它收入）
分析：在这个问题中，公司的收入是完全确定的，10000个投保人每人付给公司120元，公司的年收入为120万元。公司的支出取决于投保人中意外死亡的人数（这里略去有关公司日常性开支的争辩，如公司职工工资，行政开支等等），而这是完全随机的，公司无法在事前知道其精确     人数。但公司可以知道死亡人数的分布.设X表示这10000人中意外死亡的人数，由于每个人的死亡率为0.006，则X听从n=10000，p=0.006的二项分布:
，k=0,1,2,…,10000.
死亡X个人时，公司要赔偿X万元，此时公司的利润为（120-X）万元。尽管我们无法事前知道这利润的精确     值，但由上述分布可知，公司赔本的概率为
≈0
即公司几乎不会赔本（这里的计算量很大，可设计算法程序来计算，体会算法的重要性）。类似地，可以计算，例如公司利润不少于40万元的概率

即公司有99.5%的概率能赚到40万元以上。则不难争辩公司获利的其它情形.
这个例子告知我们，面对随机现象，了解分布格外有意义，我们不能保证公司的利润确定不少于40万元，完全可能毁灭例外的状况.这是随机现象的本性所打算的.但是上述的结果对保险公司确有指导的意义.
二 需要多少条外线
例2 某电话交换台有1000个用户，在任何时刻各用户是否需要通话是独立的，且每个用户需要需要通话的概率为.问该交换台最少需要多少条外线才能保证各用户在任何时刻同时使用通畅的概率不小于99%？
分析：或许，你马上得到需要1000×99%=990条外线，是这样吗？不妨计算一下，将每一个用户需要通话与否看成一个子试验，因此用户需要使用电话可以看成是p=的1000重独立试验模型.设X表示给定时刻需要通话的用户数.依据题意，就是求满足下列不等式的n，，由于可计算得：
n 20 25 26 27 28 30
P（X≤n） 0.8297 0.9804 0.9886 0.9935 0.9965 0.9995
全部最少需要27条外线.
上面的例子表明，了解随机现象发生的规律是格外有意义的.为了用户能以99%的概率要通外线，我们无须保留1000条外线中的99%（1000×99%=990），10%（100条）也用不到，原来线路的5%（50条）就已足够了.只要我们在允许的范围内稍做一些“牺牲”（用户要不通外线的可能性为1%），就能大大降低成本.
三 药品检验
例3.某地区羊患某种病的概率是0.25，且每只羊患病与否是彼此独立的.今研制一种新的预防药，任选12只羊做试验，结果这12只羊服用此药后均未患病.问此药是否有效.
分析：初看起来，会认为这药确定有效，由于服药的羊均未患病.但细想一下，会有问题，由于大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占0.25左右.这12只羊都未患病，未必是药的作用.分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取12只羊都不患病的可能性大不大.若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在我们这几只羊都未患病，应当是药的效果，即药有效.
现假设药无效，在此假设下，令x表示任取12只羊中患病的头数，则x听从n=12,p=0.25的二项分布，即 ，k=0,1,…,12. 12只羊都不患病的概率是.
这个概率很小，该大事几乎不会发生，但现在它的确发生了，说明我们的假设不对，药是有效的.这里的分析思想有些像反证法，但并不相同.给定假设后，我们发觉，一个概率很小几乎不会发生的大事却发生了，从而否定我们的“假设”.
四 买奖券问题
例4 试分析：中奖率为的彩票，买1000张确定中奖吗？
分析：在奖券抽奖时，试发行了N张奖券，其中M张能中奖，那么买一张的中奖率是,买n张奖券，令X为n张奖券中能中奖的张数，则X听从超几何分布.
,k=0,1,…,min（M,n）
中奖的概率是，
假定发行的奖券数量巨大，可近似认为每张奖券是否中奖是相互独立的，中奖率不变，令X为n张奖券中能中奖的张数，则X可看作听从二项分布
，k=0,1,2…,n. 换句话说，当N很大时，参数为N，M,n的超几何分布可用参数为n，p=的二项分布来近似.
假如一次抽奖活动中的中奖率为，令X为n张奖券中能中奖的张数，可以近似认为X听从二项分布.，k=0,1,2…,n. 中奖的概率记为Pn，有.表中给出了数值的结果：
n
1000
2000
3000
4000
5000
Pn
0.632
0.865
0.950
0.982
0.993
我们看到中奖率为千分之一的奖券并非买1000张就能中奖，买1000张中奖的概率约为63%，尽管平均买1000张奖券中就有1张能中奖，但假如把“买1000张奖券”看成一次试验，在众多的买1000张奖券的人中，有不中的，有中1张的，也有中2张的，…其中不中奖的约占1－63%=37%.上表还告知我们，买3000张奖券中奖的概率为95%，再多买2000张，即买5000张，中奖的概率只提高了4.3%，这一事实对如何购买奖券无疑是有参考价值的.
通过上述几个实例，主要对初学者学习此内容的困难进行了分析，挂念他们渐渐生疏随机变量的思想和语言，进一步生疏二项分布的特点，提高他们识别模型和解释结果的力气.