2022高三一轮复习学案(理数)(人教)第二章-基本初步函数、导数及其应用-第10课时-导数的应用.docx

第10课时导数的应用考纲索引1. 函数的最佳.2. 解决优化问题的基本思想.课标要求1. 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).2. 会利用导数解决某些实际问题.学问梳理1. 函数的最值假设函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是一条的曲线,则该函数在a,b上确定能够取得与.若函数在(a,b)内是的,该函数的最值必在处取得.2. 解决优化问题的基本思想基础自测1. (教材改编)函数f(x)=12x-x3在区间-3,3上的最小值是().A. -9B. -16C. -12D. -112. 函数y=lnx-x在x(0,e上的最大值为().A. eB. 1C. -1D. -e3. 用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为().A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm4. 函数f(x)=x-ex在区间0,1上的最小值为.5. 函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值是,最小值是.考点透析考向一函数的最大(小)值与导数例1(2022浙江)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a0).若f(x)在-1,1上的最小值记为g(a).(1)求g(a);(2)证明:当x-1,1时,恒有f(x)g(a)+4.【审题视点】本题主要考查导数及其应用,函数的单调性与最值,不等式恒成立及其应用,不等式的证明.(1)通过函数关系式的变化,结合参数a的取值状况加以分类分析,进而确定在给定区间内的最值问题即可;(2)通过不等式恒成立问题的转化,结合导数及其应用,函数的单调性等来证明相应的不等式问题.【方法总结】在解决类似的问题时,首先要留意区分函数最值与极值的区分.求解函数的最值时,要先求函数y=f(x)在a,b内全部使f(x)=0的点,再计算函数y=f(x)在区间内全部使f(x)=0的点和区间端点处的函数值,最终比较即得.变式训练1. 已知函数f(x)=(x-k)ex.求:(1)f(x)的单调区间;(2)f(x)在区间0,1上的最小值.考向二导数在实际问题中的应用例2(2021泰安模拟)某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(x6),年销售为u万件,若已知与成正比,且售价为10元时,年销量为28万件.求:(1)年销售利润y关于售价x的函数关系式;(2)售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.【审题视点】利用待定系数法求出比例系数,从而确定u,可写出y的函数,依据导数求出最值.【方法总结】1. 导数在实际问题中的应用.在求实际问题中的最值时,一般要先恰当的选择变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用导数加以解决.留意检验结果与实际是否相符.2. 实际问题中的最值.依据实际意义,函数存在最值,而函数只有一个极值,则函数的极值就是最值.变式训练2. (2021福建模拟)某分公司经销某品牌产品,每件产品成本3元,且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费,估量当每件产品的售价为x元(9x11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出L的最大值Q(a).经典考题典例(2022重庆一模)经调查统计,某种型号的汽车在匀速行驶中,每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数可表示为(0x100).已知甲、乙两地相距100千米,在匀速行驶速度不超过100千米/时的条件下,该种型号的汽车从甲地到乙地的耗油量记为f(x)(升).(1)求函数f(x)的关系式;(2)争辩函数f(x)的单调性,当x为多少时,耗油量f(x)为最少?最少为多少升?【解题指南】本题考查导数在争辩函数单调性,最值中的应用.【解】(1)由题意,得汽车从甲地到乙地行驶了小时,令f(x)=0,得x3-216000=0,x=60.当x(0,60)时,f(x)0,f(x)是增函数;所以当x=60,即汽车的行驶速度为60(千米/时)时,从甲地到乙地的耗油量f(x)为最少,最少耗油量为f(60)=7(升).真题体验1. (2022四川)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bR,e=2.71828为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间0,1上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2a1.2. (2022湖北)为圆周率,e=2.71828为自然对数的底数.求:(1)函数的单调区间;(2)e3,3e,e,e,3,3这6个数中的最大数与最小数.参考答案与解析 学问梳理1. 连续不间断最大值最小值可导极值点或区间端点基础自测1. B2. C3. 1-e4. 5-15考点透析 (2) 令h(x)=f(x)-g(a),当0a1时,g(a)=a3.若xa, 1, h(x)=x3+3x-3a-a3,得h(x)=3x2+3,则h(x)在(a, 1)上是增函数,所以h(x)在a, 1上的最大值是h(1)=4-3a-a3.由于0a0,知t(a)在(0, 1)上是增函数,所以t(a)t(1)=4,即h(-1)6)(2) y=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).令y=0,得x=2(由于x6,故舍去)或x=9,明显,当x(6, 9)时,y0;当x(9, +)时,y0,所以函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6, 9)上是增加的;在(9, +)上是削减的.所以当x=9时,y取最大值,且ymax=135.所以售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.变式训练1. (1) f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,得x=k-1.f(x)与f(x)的状况如下:x(-, k-1)(k-1)(k-1, +)f(x)-0+f(x)-ek-1所以f(x)的单调递减区间是(-, k-1);单调递增区间是(k-1, +).(2) 当k-10,即k1时,函数f(x)在0, 1上单调递增,所以f(x)在区间0, 1上的最小值为f(0)=-k;当0k-11,即1k2时,由(1),知f(x)在0, k-1上单调递减,在(k-1, 1)上单调递增,所以f(x)在区间0, 1上的最小值为f(k-1)=-ek-1;当k-11时,即k2,函数f(x)在0, 1上单调递减,所以f(x)在区间0, 1上的最小值为f(1)=(1-k)e.2. (1) 依据题意,知L(x)=(x-3-a)(12-x)2, x9, 11.(2) 由(1),知L(x)=(12-x)(18+2a-3x),经典考题真题体验