【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第9章-第8节-用向量方法求角与距离(理).docx
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第九章 第八节 一、选择题 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 如图,以D为坐标原点,直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1), ∴=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1), 设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z), 则∴∴ 令x=1得,n=(1,-1,-1), 设直线BC1与平面A1BD所成角为θ,则 sinθ=|cos〈,n〉|===, ∴cosθ==. 2.(2022·河北石家庄模拟)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,CC1=,则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为( ) A.1 B. C. D. [答案] A [解析] 设线段A1B1,AB的中点分别为O,D,则OC1⊥平面ABB1A1,以,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图, 则A(-1,0,),B1(1,0,0),B(1,0,),C1(0,,0), ∴=(2,0,-),=(-1,,-),由于·=(2,0,-)·(-1,,-)=0,所以⊥,即异面直线AB1和BC1所成角为直角,则其正弦值为1,故选A. 3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离为( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 解法1:以D为原点,DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),O,设平面ABC1D1的法向量n=(x,y,1),则 ∴∴∴n=(1,0,1), 又=, ∴O到平面ABC1D1的距离d===. 解法2:易证A1D⊥平面ABC1D1, ∴A1到平面ABC1D1的距离为, ∵O为A1C1的中点,∴O到平面ABC1D1的距离为. 4.(2022·宁夏银川调研)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. [答案] A [解析] 方法一:取A1C1的中点E,连接AE,B1E,如图. 由题易知B1E⊥平面ACC1A1, 则∠B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角. 设正三棱柱侧棱与底面边长为1, 则sin∠B1AE===. 方法二:如图, 以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E-xyz,设棱长为1,则 A(,0,1),B1(0,,0),∴=(-,,-1),=(0,,0). 设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ,EB1为平面ACC1A1的法向量. 则sinθ=|cos〈,〉| =||=. 5.(2022·福建泉州二模)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系, 则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),∴=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0), 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,则n=(1,-1,-1), ∴点D1到平面A1BD的距离是 d===. [点评] 可用等积法求解VD1-A1BD=VB-A1DD1. 一、空间的距离 1.两点间的距离:连结两点的线段的长度. 2.点到直线的距离:从直线外一点向直线引垂直相交的直线,点到垂足之间线段的长度. 3.点到平面的距离:从平面外一点向平面引垂线,点到垂足间线段的长度. 连接平面α外一点与平面α内任一点的线段中,垂线段最短. 4.平行直线间的距离:从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线,这点到垂足间线段的长度. 5.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度. 6.直线与平面间的距离:假如一条直线和一个平面平行,从直线上任意一点向平面引垂线,这点到垂足间线段的长度. 7.两平行平面间的距离:两个平面的公垂线段的长度. 二、求距离的方法 1.综合几何方法 ①找出或作出有关距离的图形; ②证明它符合定义; ③在平面图形内计算. 空间中各种距离的计算,最终都要转化为线段长度,特殊状况也可以利用等积法. 2.向量法 (1)求直线到平面的距离 设直线a∥平面α,A∈a,B∈α,n是平面α的法向量,过A作AC⊥α,垂足为C,则∥n, ∵·n=(+)·n=·n, ∴|·n|=||·|n|. ∴直线a到平面α的距离d=||=. (2)求两平行平面间的距离 ①用公式d=求,n为两平行平面的一个法向量,A、B分别为两平面上的任意两点. ②转化为点面距或线面距求解. (3)求点面距时,平面内的点可以任意选取,实际解题时选取已知点或易求的点,练习下题: 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是棱AB、BC的中点,则点C1到平面B1EF的距离等于( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 解法1:设点C1到平面B1EF的距离h.连接EC1,FC1,由题意得|B1E|=|B1F|==,|EF|=,等腰△B1EF底边EF上的高为:h1==,则S△B1EF=|EF|·h1=,那么VC1-B1EF=S△B1EF·h=h;又VE-B1C1F=S△B1C1F·|EB|=×(×2×2)×1=,且VC1-B1EF=VE-B1C1F,即=h,得h=,选D. 解法2:以B1为原点分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B1(0,0,0),C1(2,0,0),E(0,1,2),F(1,0,2). 设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z),则 ∴∴x=y=-2z. 令z=1得n=(-2,-2,1), 又=(2,0,0), ∴C1到平面B1EF的距离h==,故选D. 6.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF.当A1、E、F、C1四点共面时,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(6,0,6)、E(6,3,0)、F(3,6,0),设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得令a=-1,则c=1,b=2,所以n1=(-1,2,1),同理得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),由题图知,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为=. 二、填空题 7.(2021·北京理,14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为________. [答案] [解析] 过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1,交B1C1于点E1, 连接D1E1,过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1,交D1E1于点H, P点到直线CC1的距离就是C1H, 故当C1H垂直于D1E1时,P点到直线CC1距离最小, 此时,在Rt△D1C1E1中,C1H⊥D1E1,D1E1·C1H=C1D1·C1E1,∴C1H==. [点评] 点P到直线CC1距离的最小值就是异面直线D1E与CC1的距离,以D为原点,DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),E(1,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2), ∴=(1,2,-2),=(0,0,2),设n⊥,n⊥,n=(x,y,z), 则n·=x+2y-2z=0,n·=2z=0,∴z=0,取y=-1,则x=2,∴n=(2,-1,0), 又=(1,0,0),∴异面直线距离d==. 8.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,将菱形沿对角线AC折成直二面角D′-AC-B,折起后直线AB与CD′之间的距离为________. [答案] [解析] 设AC∩BD=O,∵在菱形ABCD中,AC⊥BD, ∴折起后AC、BO、OD′两两垂直,以O为原点,直线OC、OB、OD′为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系, ∵在原菱形中,AB=2,∠DAB=60°, ∴OA=OC=,OB=OD′=1, ∴A(-,0,0),B(0,-1,0),C(,0,0),D′(0,0,1), ∴=(,-1,0),=(-,0,1), 设n=(x,y,z),令则 令x=1,则y=,z=. ∴n=(1,,),又=(,0,1), ∴AB与CD′之间的距离d==. 三、解答题 9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°. (1)求证:BD⊥平面PAC; (2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值; (3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长. [解析] (1)由于四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD. 又由于PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD. 由于PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC. (2)设AC∩BD=O.由于∠BAD=60°,PA=AB=2, 所以BO=1,AO=CO=. 如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,-,2),A(0,-,0),B(1,0,0),C(0,,0). 所以=(1,,-2),=(0,2,0), 设PB与AC所成角为θ,则cosθ===. (3)由(2)知=(-1,,0). 设P(0,-,t),(t>0),则=(-1,-,t). 设平面PBC的法向量m=(x,y,z),则 ·m=0,·m=0, 所以 令y=,则x=3,z=.所以m=(3,,). 同理,平面PDC的法向量n=(-3,,). 由于平面PBC⊥平面PDC. 所以m·n=0,即-6+=0.解得t=. 所以PA=. 10.(2022·天津河北区一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2,AB=BC=1,E为AD中点. (1)求证:PE⊥平面ABCD; (2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值; (3)求平面PAB与平面PCD所成的二面角. [解析] (1)证明:在△PAD中,PA=PD,E为AD中点, ∴PE⊥AD. 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE⊂平面PAD,∴PE⊥平面ABCD. (2)如图,以E为坐标原点建立空间直角坐标系E-xyz,则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), ∴=(-1,1,0),=(1,-1,-1), ∴cos〈,〉===-, ∴异面直线PB与CD所成的角的余弦值为. (3)方法一:设平面PAB的法向量为m=(x,y,z), ∵=(0,-1,-1),=(1,-1,-1), ∴即 令y=1,则x=0,z=-1,∴m=(0,1,-1). 设平面PCD的法向量为n, 同理可得n=(1,1,1). ∴cos〈m,n〉==0.∴m⊥n. ∴平面PAB与平面PCD所成的二面角为. 方法二:∵侧面PAD⊥底面ABCD,交线为AD,AB⊥AD, ∴AB⊥平面PAD,∴PD⊥AB. ∵PA=PD=,AD=2,∴PD⊥PA. 又PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB. 又PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD. ∴平面PAB与平面PCD所成的二面角为. 一、解答题 11.如图,四边形DCBE为直角梯形,∠DCB=90°,DE∥CB,DE=1,BC=2,又AC=1,∠ACB=120°,CD⊥AB,直线AE与直线CD所成角为60°. (1)求证:平面ACD⊥平面ABC; (2)求BE与平面ACE所成角的正弦值. [解析] (1)∵CD⊥AB,CD⊥BC,AB∩BC=B, ∴CD⊥平面ABC, 又∵CD⊂平面ACD,∴平面ACD⊥平面ABC. (2)在平面ACB内,过C作CF⊥CB,以C为原点,以CF,CB,CD所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系C-xyz 设CD=a(a>0), 则D(0,0,a),E(0,1,a),B(0,2,0),A(,-,0), =(-,,a),=(0,0,a), 由直线AE与直线CD所成角为60°,得 ·=||||cos60°, ∴a2=,解得a=1. ∴=(0,1,1),=(,-,0),=(0,-1,1), 设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z), 则即 取x=,则y=3,z=-3,得n=(,3,-3), 设BE与平面ACE所成角为θ,则sinθ==,于是BE与平面ACE所成角的正弦值为. 12.(2021·成都七中期中)如图分别是正三棱台ABC-A1B1C1的直观图和正视图,O,O1分别是上下底面的中心,E是BC的中点. (1)求正三棱台ABC-A1B1C1的体积(注:棱台体积公式:V=(S上++S下)其中S上为棱台上底面面积,S下为棱台下底面面积,h为棱台高); (2)求平面EA1B1与平面A1B1C1的夹角的余弦; (3)若P是棱A1C1上一点,求CP+PB1的最小值. [解析] (1)由题意AC=2,A1C1=4,正三棱台的高为, S△ABC=3,S△A1B1C1=12,VABC-A1B1C1=(3++12)×=21. (2)设O,O1分别是上、下底面的中心,E是BC的中点,F是B1C1的中点.以O1为原点,过O1平行于B1C1的直线为x轴建立空间直角坐标系O1-xyz,则C1(-2,2,0),C(-,1,),E(0,1,),A1(0,-4,0),B1(2,2,0),=(0,5,),=(2,6,0), 设平面EA1B1的一个法向量n=(x,y,z),则 即 取n=(-3,,-5),取平面A1B1C1的一个法向量m=(0,0,1),设所求角为θ,则cosθ==. (3)将梯形A1ACC1绕A1C1旋转到与△A1B1C1在同一平面内,使二面角B1-A1C1-C为平角,记展平后的A、C为M、N,连接B1N与A1C1的交点为P点时,CP+PB1取最小值. cos∠NC1A1=cos∠CC1A1==, ∴sin∠NC1A1=, cos∠NC1B1=cos(∠NC1A1+)=×-×=-, 在△NC1B中,B1C1=4,NC1=||=, 由余弦定理得CB1=,∴CP+PB1的最小值为. 13.(2021·陕西商洛一模)如图,四周体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=. (1)求证:AO⊥平面BCD; (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值; (3)求点E到平面ACD的距离. [分析] (1)要证AO⊥平面BCD,只需在平面BCD内找到两条与AO垂直的直线,由条件△ABD为等腰三角形可知AO⊥BD,只要AO⊥OC即可得证,结合条件应计算证明AO⊥OC. (2)由(1)可知OC、OA、BD两两垂直,故适合建系用坐标法求,只要找出两直线的方向向量,即可获解. (3)求点面距,需先求出平面的法向量n,则距离d=. [解析] (1)证明:连接OC,由CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,知CO=,AO=1. 在△AOC中,AC2=AO2+OC2,则AO⊥OC. 又AO⊥BD,BD∩OC=O,因此AO⊥平面BCD. (2)解:如图建立空间直角坐标系O-xyz, 则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),=(1,0,-1),=(-1,-,0), ∴|cos〈,〉|==. 即异面直线AB与CD所成角的余弦值为. (3)=(-1,0,-1),设平面ACD的法向量为n=(x,y,z), 由n·=0,n·=0,得 令y=1,则n=(-,1,). 所以点E到平面ACD的距离为d==. 14.(2022·天津河西区二模)如图,在几何体ABC-A1B1C1中,点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别为A、B、C,且AB⊥BC,AA1=BB1=4,AB=BC=CC1=2,E为AB1的中点. (1)求证:CE∥平面A1B1C1; (2)求二面角B1-AC1-C的大小; (3)设点M为△ABC所在平面内的动点,EM⊥平面AB1C1,求线段BM的长. [解析] 由于点B1在平面ABC内的正投影为B,所以B1B⊥BA,B1B⊥BC, 又AB⊥BC,如图建立空间直角坐标系B-xyz, B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(0,0,4),C1(0,2,2),E(1,0,2), (1)证明:设平面A1B1C1的法向量n1=(x,y,z),=(-2,0,0),=(0,2,-2), 由,即, 取y=1,得n1=(0,1,1), 又=(1,-2,2), 由于·n1=0×1+1×(-2)+2×1=0, 所以⊥n1,所以CE∥平面A1B1C1. (2)设平面AB1C1的法向量n2=(x,y,z), =(2,0,-4),=(0,2,-2), 由,即, 取y=1,得n2=(2,1,1), 同理,平面ACC1的法向量n3=(1,1,0), 所以cos〈n2,n3〉==, 由图知,二面角B1-AC1-C的平面角是钝角, 所以二面角B1-AC1-C的平面角是π. (3)设点M的坐标为(a,b,0),则=(a-1,b,-2),由EM⊥平面AB1C1,得, 即解得,所以M(-3,-2,0),||=.- 配套讲稿:
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