2021高考数学(文理通用)一轮课时作业43-曲线与方程.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十三)曲线与方程(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知两定点F1(-1,0),F2(1,0)且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是()A.x216+y29=1B.x216+y212=1C.x24+y23=1D.x23+y24=1【解析】选C.由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知|PF1|+|PF2|=4,故动点P的轨迹是以定点F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,故其方程为x24+y23=1.2.已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,则点A(0,-1)与点P连线中点的轨迹方程是()A.y=2x2B.y=8x2C.y=4x2-12D.y=4x2+12【解析】选C.设AP中点为(x,y),则P(2x,2y+1)在2x2-y=0上,即2(2x)2-(2y+1)=0,所以y=4x2-12.3.已知定点A(1,0)和定直线l:x=-1,在l上有两动点E,F且满足AEAF,另有动点P,满足EPOA,FOOP(O为坐标原点),且动点P的轨迹方程为()A.y2=4xB.y2=4x(x0) C.y2=-4xD.y2=-4x(x0)【解析】选B.设P(x,y),E(-1,y1),F(-1,y2)(y1,y2均不为零),由EPOAy1=y,即E(-1,y).由FOOPy2=-yx,由AEAFy2=4x(x0).4.(2021青岛模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的轨迹方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=9B.(x+1)2+(y-1)2=9C.(x-1)2+(y-1)2=9D.(x+1)2+(y+1)2=9【解析】选A.由于以AB为直径的圆恰好经过点C(1,-1),所以CACB,故ACB为直角三角形,又M为斜边AB中点,所以|MC|=12|AB|=3,故点M的轨迹是以C(1,-1)为圆心,3为半径的圆,其方程为(x-1)2+(y+1)2=9.【加固训练】(2021郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为()A.x2+y2=32B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16D.x2+(y-1)2=16【解析】选B.设P(x,y),则由题意可得:2(x-2)2+y2=(x-8)2+y2,化简整理得x2+y2=16.5.设过点P(x,y)的直线分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP=2PA,OQAB=1,则点P的轨迹方程是()A.32x2+3y2=1(x0,y0)B.32x2-3y2=1(x0,y0)C.3x2-32y2=1(x0,y0)D.3x2+32y2=1(x0,y0)【解析】选A.设A(a,0),B(0,b)(a,b0),可得BP=(x,y-b),PA=(a-x,-y),OQ=(-x,y),AB=(-a,b).由BP=2PA,得x=2a-2x,y-b=-2y,即a=32x,b=3y.由OQAB=1得ax+by=1.所以32x2+3y2=1(x0,y0).6.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点的椭圆经过A,B两点,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A.y2-x248=1(y-1)B.y2-x248=1(y1)C.x2-y248=1(x-1)D.x2-y248=1(x1)【思路点拨】先求出已知点间的距离,再依据椭圆的定义解决.【解析】选A.由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又由于|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的下支.又c=7,a=1,b2=48,所以点F的轨迹方程为y2-x248=1(y-1).7.已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是()A.圆或椭圆或双曲线B.两条射线或圆或抛物线C.两条射线或圆或椭圆D.椭圆或双曲线或抛物线【解析】选C.当点P在定圆O的圆周上时,圆C与圆O内切或外切,O,P,C三点共线,所以轨迹为两条射线.当点P在定圆O内时(非圆心),|OC|+|PC|=r0为定值,且r0|OP|,所以轨迹为椭圆.当P与O重合时,圆心轨迹为圆.【误区警示】本题易因争辩不全,或找错关系而毁灭错误.8.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为()A.x2-y28=1(x1)B.x2-y28=1(x0)D.x2-y210=1(x1)【解析】选A.设另两个切点为E,F,如图所示,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|,从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=21).二、填空题(每小题5分,共20分)9.方程(x+y-1)x-1=0表示的曲线为.【解析】由方程(x+y-1)x-1=0可得x-10,x+y-1=0或x-10,x-1=0.即x+y-1=0(x1)或x=1,所以方程表示直线x=1和射线x+y-1=0(x1).答案:直线x=1和射线x+y-1=0(x1)10.已知向量a=(x,3y),b=(1,0),且(a+3b)(a-3b).则点M(x,y)的轨迹C的方程为.【解析】由于(a+3b)(a-3b),所以(a+3b)(a-3b)=0,所以a2-3b2=0,所以x2+3y2-3=0,即点M(x,y)的轨迹C的方程为x23+y2=1.答案:x23+y2=111.下列说法:在ABC中,已知A(1,1),B(4,1),C(2,3),则AB边上的高的方程是x=2;方程y=x2(x0)的曲线是抛物线;已知平面上两定点A,B,动点P满足|PA|-|PB|=12|AB|,则P点的轨迹是双曲线;第一、三象限角平分线的方程是y=x.正确的是.【解析】中高线为线段,中为抛物线的一部分,中是双曲线的一支,中方程是正确的.答案:【加固训练】曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹.给出下列三个结论:曲线C过坐标原点;曲线C关于坐标原点对称;若点P在曲线C上,则F1PF2的面积不大于12a2.其中,全部正确结论的序号是.【解析】设P(x,y)为曲线C上任意一点,则由|PF1|PF2|=a2,得(x+1)2+y2(x-1)2+y2=a2.把(0,0)代入方程可得1=a2,与a1冲突,故不正确.当M(x,y)在曲线C上时,点M关于原点的对称点M(-x,-y)也满足方程,故曲线C关于原点对称,故正确.SF1PF2=12|PF1|PF2|sinF1PF2=12a2sinF1PF212a2,故正确.答案:12.(力气挑战题)设椭圆方程为x2+y24=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点,点P满足OP=12(OA+OB),当l绕点M旋转时,动点P的轨迹方程为.【思路点拨】设直线l的斜率为k,用参数法求解,但需验证斜率不存在时是否符合要求.【解析】直线l过点M(0,1),当斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题设可得点A,B的坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组y=kx+1x2+y24=1的解,将代入并化简得,(4+k2)x2+2kx-3=0,所以x1+x2=-2k4+k2,y1+y2=84+k2,于是OP=12(OA+OB)=x1+x22,y1+y22=-k4+k2,44+k2.设点P的坐标为(x,y),则x=-k4+k2,y=44+k2,消去参数k得4x2+y2-y=0,当斜率不存在时,A,B中点为坐标原点(0,0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.答案:4x2+y2-y=0【方法技巧】利用参数法求轨迹方程的技巧参数法是求轨迹方程的一种重要方法,其关键在于选择恰当的参数.一般来说,选参数时要留意:动点的变化是随着参数的变化而变化的,即参数要能真正反映动点的变化特征;参数要与题设的已知量有着亲热的联系;参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算,也要便于消去.常见的参数有角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等.三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(2022嘉兴模拟)设点A(-3,0),B(3,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-23.(1)求动点M的轨迹C的方程.(2)若直线l过点F(1,0)且绕F旋转,l与圆O:x2+y2=5相交于P,Q两点,l与轨迹C相交于R,S两点,若|PQ|4,19,求FRS的面积的最大值和最小值(F为轨迹C的左焦点).【解析】(1)设M(x,y),则kMAkMB=yx+3yx-3=-23(x3),化简得x23+y22=1,所以轨迹C的方程为x23+y22=1(x3).(2)设l:x=my+1,O到l的距离d=11+m2,所以|PQ|=25-11+m24,19,所以0m23,将x=my+1代入轨迹C方程并整理得:(2m2+3)y2+4my-4=0.设R(x1,y1),S(x2,y2),则y1+y2=-4m2m2+3,y1y2=-42m2+3,所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16m2(2m2+3)2+162m2+3,所以S=12|y1-y2|FF|=43(m2+1)(2m2+3)2,设m2+1=t1,4,则f(t)=4t+1t在1,4上递增,所以f(t)5,654,所以S=43t(2t+1)2=434+4t+1t,所以Smin=839,Smax=433.【误区警示】本题易漏掉除去x3且x-3两种状况,其缘由是化简时,不是同解变形.14.(2021蚌埠模拟)已知点C(1,0),点A,B是O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足ACBC=0,设P为弦AB的中点.(1)求点P的轨迹T的方程.(2)摸索究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)连接CP,OP,OA,由ACBC=0,知ACBC,所以|CP|=|AP|=|BP|=12|AB|.由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2,即|OP|2+|CP|2=9.设点P(x,y),有(x2+y2)+(x-1)2+y2=9,化简,得到x2-x+y2=4.(2)依据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px上,其中p2=1,所以p=2,故抛物线方程为y2=4x.由方程组y2=4x,x2-x+y2=4,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,由于x0,故取x=1,此时y=2.故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).15.(力气挑战题)如图,动圆C1:x2+y2=t2,1t3,与椭圆C2:x29+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点.(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积.(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.【思路点拨】(1)由于A,B,C,D四点的对称性,可设出它们的坐标,利用坐标的某个变量来表示矩形面积,建立函数,求最值;(2)利用点的坐标,据直线方程的点斜式写出直线方程,求交点坐标,用交轨法求轨迹方程.【解析】(1)由于A,B,C,D四点的对称性,设A(x0,y0),B(x0,-y0),C(-x0,-y0),D(-x0,y0),则矩形ABCD的面积为S=ABBC=2|y0|2|x0|=4|x0y0|,由点A(x0,y0)在椭圆x29+y2=1上,所以x029+y02=1y02=1-x029.从而x02y02=x02(1-x029)=-19(x02-92)2+94,故x02=92,y02=12时,x02y02取得最大值94.从而S=ABBC=2|y0|2|x0|=4|x0y0|取得最大值6.此时t2=x02+y02=5t=5.(2)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)可得直线AA1的方程:y=y0x0+3(x+3)直线A2B的方程:y=-y0x0-3(x-3)设直线AA1与直线A2B的交点M(x,y)由得y2=-y02x02-9(x2-9)由(1)知y02=1-x029代入整理得x29-y2=1(x-3,y0)因此点M的轨迹方程为x29-y2=1(x-3,y0).关闭Word文档返回原板块