2020-2021学年人教A版高中数学选修2-1双基限时练2.docx

双基限时练(二)
1．命题：“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有(　　)
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析　∵ac2>bc2，则a>b为真命题，∴它的逆否命题为真命题．而逆命题“若a>b，则ac2>bc2”为假命题，∴否命题为假命题．因此，真命题有两个．
答案　B
2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列推断肯定正确的是(　　)
A．命题p是真命题
B．命题p的否命题是假命题
C．命题p的逆否命题是假命题
D．命题p的否命题是真命题
答案　B
3．“若x，y∈R，且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是(　　)
A．若x，y∈R，且x2＋y2≠0，则x，y全不为0
B．若x，y∈R，且x2＋y2≠0，则x，y不全为0
C．若x，y∈R，且x，y全为0，则x2＋y2＝0
D．若x，y∈R，且xy≠0，则x2＋y2≠0
答案　B
4．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”和这个命题互为逆否命题的为(　　)
A．若一个数是负数，则它的平方是正数
B．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
C．若一个数的平方是正数，则它是负数
D．若一个数不是负数，则它的平方是非负数
答案　C
5．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(　　)
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠0)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
答案　A
6．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析　∵原命题为真命题，它的逆命题“函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题．
∴逆否命题是真命题，否命题是假命题．
答案　C
7．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________，逆否命题是________．
答案　若A∪B≠B，则AB　若AB，则A∪B≠B
8．“若不等式x2＋px＋q>0的解集为R，则p2－4q≤0”的逆命题为________________；否命题为____________________；逆否命题为______________________．
答案　若p2－4q≤0，则不等式x2＋px＋q>0的解集为R
若不等式x2＋px＋q≤0的解集为R，则p2－4q>0
若p2－4q>0，则不等式x2＋px＋q≤0的解集为R
9．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
答案　②和④，③和⑥　①和⑥，②和⑤　①和③，④和⑤
10．命题“若m>0，则2x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．
解　原命题的逆否命题为真命题．
∵m>0，
∴Δ＝9＋8m>0.
∴方程2x2＋3x－m＝0有实根．
故原命题为真命题．
又原命题与其逆否命题等价．
∴命题“若m>0，则2x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题．
11．推断命题“已知a，x∈R，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解　原命题的逆否命题为：
已知a，x∈R，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
推断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
∵a<1，∴4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故逆否命题为真．
12．证明：若x2＋y2＝2，则x＋y≤2.
证明　把命题“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”视为原命题，其逆否命题是“若x＋y>2，则x2＋y2≠2”．
∵x＋y>2，则x2＋y2≥>×4＝2，
∴x2＋y2≠2.
∵原命题与其逆否命题等价，
又逆否命题为真命题，
∴原命题“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”也是真命题．