2020-2021学年人教A版高中数学必修2双基限时练14.docx
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双基限时练(十四) 1.垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.a⊂α D.无法确定 答案 A 2.已知直线a和两个平面α,β,给出下列四个命题: ①若a∥α,则α内的任意直线都与a平行;②若a⊥α,则α内的任意直线都与a垂直;③若α∥β,则β内的任意直线都与α平行;④若a与α,β所成的角相等,则α∥β. 则其中真命题为( ) A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 解析 由直线与平面垂直的定义知,若a⊥α,则α内的任意直线都与a垂直,所以②为真;若α∥β,则β内任意直线与α没有公共点,所以平行,故③为真. 答案 B 3.空间四边形ABCD的四边相等,则它们的对角线AC,BD的关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不肯定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 解析 如图所示,ABCD是空间四边形.且AB=BC=CD=DA.取BD的中点E,连接AE,CE则有AE⊥BD,CE⊥BD.∴BD⊥平面ACE,∴BD⊥AC. ∴空间四边形ABCD的对角线AC、BD垂直,但不相交. 答案 C 4.a,b是直线,α是平面,下列推断正确的是( ) A.a垂直α内的两条直线,则a⊥α B.a⊥b,b⊥α,则a∥α C.a∥α,b⊥α,则a⊥b D.若a∥α,a∥β则α∥β 解析 用排解法,在A中,当两直线平行时,不成立;在B中,a可能在α内;在D中,α与β也可能相交.因此A、B、D均错,故C正确. 答案 C 5.推断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号. (1)假如一条直线垂直于平面内的很多条直线,那么这条直线和这个平面垂直( ) (2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边( ) (3)过点A垂直于直线a的全部直线都在过点A垂直于a的平面内( ) (4)假如三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条确定的平面( ) (5)已知a∥α,且b⊥α,则b⊥a( ) (6)a∥b,a⊥β,则b⊥β( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)√ 6.设O为平行四边形ABCD对角线的交点,P为平面AC外一点,且有PA=PC,PB=PD ,则PO与平面ABCD的关系是__________. 解析 ∵PA=PC,∴PO⊥AC,又PB=PD,∴PO⊥BD.∴PO⊥平面ABCD. 答案 垂直 7.AB为⊙O的直径,C是异于A,B的圆周上的任意一点,PA垂直⊙O所在的平面,则△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中共有________个直角三角形. 答案 4 8.如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角是________. 解析 由PA⊥平面ABC知,∠PBA就是PB与平面ABC所成的角,在Rt△PAB中,由PA=AB,知∠PBA=45°. 答案 45° 9.如图,已知PA⊥⊙O所在平面,AB为⊙O的直径,C是圆周上的任意一点,过A作AE⊥PC于E,求证:AE⊥平面PBC. 证明 ∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC. ∵AC⊥BC,AC∩PA=A, ∴BC⊥平面PAC. ∵AE⊂平面PAC, ∴BC⊥AE. 又∵PC⊥AE,BC∩PC=C, ∴AE⊥平面PBC. 10.如图,已知∠BOC在平面α内,OA是平面α的斜线,且∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC=a,求OA与平面α所成的角. 解 ∵OA=OB=OC=a,∠AOB=∠AOC=60°,∴△AOB,△AOC为等边三角形. ∴AB=AC=a. ∵BC=a,∴AB2+AC2=BC2, ∴△ABC为等腰直角三角形. 同理,△BOC也为等腰直角三角形. 取BC的中点H,连接AH,OH, 则AH=OH=a. ∴AH2+OH2=OA2, ∴△AOH为等腰直角三角形. ∴∠AOH=45°,AH⊥OH. 又AH⊥BC,∴AH⊥α. ∴OA与平面α所成的角为45°. 11.如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD=1,DB=2. (1)证明PA∥平面BDE; (2)证明AC⊥平面PDB; (3)求直线BC与平面PDB所成的角的正切值. 解 (1)证明:连接AC,设AC∩BD=H,连接EH. 在△ADC中,由于AD=CD,且DB平分∠ADC,所以H为AC的中点. 又由题设E为PC的中点,故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE,所以PA∥平面BDE. (2)证明:由于PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC.由(1)可得,DB⊥AC.又PD∩DB=D,故AC⊥平面PBD. (3)由AC⊥平面PBD,可知,BH为BC在平面PBD内的射影,所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角. 由AD⊥CD,AD=CD=1,DB=2,可得DH=CH=,BH=. 在Rt△BHC中,tan∠CBH==. 所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为.- 配套讲稿:
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