高中数学(北师大版)必修五教案：1.1-要点讲解：数列.docx

数 列
一、高考要求
1． 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前n项.
2． 理解等差（比）数列的概念，把握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些学问来解决一些实际问题.
3． 了解数学归纳法原理，把握数学归纳法这一证题方法，把握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.
二、热点分析
1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般状况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列全部项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式学问的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类争辩等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.
2.有关数列题的命题趋势　　（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻生疏函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和力气的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点　　（2）数列推理题是新毁灭的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查规律推理力气，近两年在数列题中也加强了推理力气的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题　　
3.娴熟把握、机敏运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用格外广泛，且格外机敏，主动发觉题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁秀丽 .如，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有，即.
4.对客观题，应留意寻求简捷方法　　解答历年有关数列的客观题，就会发觉，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：　　①借助特殊数列.　　②机敏运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加精确     、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有机敏、简捷的解法　　
5.在数列的学习中加强力气训练　数列问题对力气要求较高，特殊是运算力气、归纳猜想力气、转化力气、规律推理力气更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法机敏多变，而解答题更是考查力气的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理力气的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平常要加强对力气的培育。
6．这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的学问主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观看、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降.
三、复习建议
1． 对基础学问要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n项和.
2． 留意等差（比）数列性质的机敏运用.
3． 把握一些递推问题的解法和几类典型数列前n项和的求和方法.
4． 留意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类争辩思想.
5． 留意数列学问在实际问题中的应用，特殊是在利率,分期付款等问题中的应用.
6． 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式毁灭，所以我们在复习时应赐予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础学问、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了同学的各种力气。
四、典型例题
【例1】 已知由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式.
解：∵q=1时，
又明显，q≠1
∴
依题意；解之
又，
依题意，将代入得

【例2】 等差数列{an }中，=30，=15，求使an≤0的最小自然数n。
解：设公差为d，则或或或
解得：Þ a33 = 30 与已知冲突 或Þ a33 = - 15 与已知冲突
或Þa33 = 15 或 Þ a33 = - 30 与已知冲突
∴an = 31+(n - 1) () Þ 31 0 Þ n≥63
∴满足条件的最小自然数为63。
【例3】 设等差数列{a}的前n项和为S，已知S4=44,S7=35
（1）求数列{a}的通项公式与前n项和公式；
（2）求数列的前n项和Tn。
解：（1）设数列的公差为d，由已知S4=44,S7=35可得a1=17,d=-4
∴a=-4n+21 (n∈N),S=-2n+19 (n∈N).
（2）由a=-4n+21≥0 得n≤, 故当n≤5时，a≥0, 当n≥6时，
当n≤5时,T=S=-2n+19n 当n≥6时,T=2S5-S=2n-19n+90.
【例4】 已知等差数列的第2项是8，前10项和是185，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第项，依次排列一个新数列，求数列的通项公式及前n项和公式。
解：由 得
∴ ∴

【例5】 已知数列1，1，2……它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到。求该数列的前n项和Sn；
解：(1)记数列1，1，2……为{An}，其中等比数列为{an}，公比为q；
等差数列为{bn}，公差为d，则An =an +bn (n∈N）
依题意，b1 =0，∴A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A=a+b=aq+b+d=1 ②
A=a+b=aq2 +b+2d=2 ③
由①②③得d=-1, q=2, ∴
∴
【例6】 已知数列满足an+Sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通项an,并加以证明。
解法1：由an+Sn=n,
当n=1时，a1=S1，\a1+a1=1，得a1=
当n=2时，a1+a2=S2，由a2+S2=2，得a1+2a2=2，\a2=
当n=3时，a1+a2+a3=S3，由a3+S3=3，得a1+a2+2a3=3\a3=
猜想，(1)下面用数学归纳法证明猜想成立。
当n=1时,a1=1-,(1)式成立
假设,当n=k时,(1)式成立,即ak=1-成立，
则当n=k+1时,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1
\2ak+1=k+1-Sk 又ak=k+Sk
\2ak+1=1+ak \ak+1=
即当n=k+1时,猜想（1）也成立。
所以对于任意自然数n,都成立。
解法2：由an+Sn=n得，两式相减得：，
即，即，下略