2022高考总复习(人教A版)高中数学-第七章-立体几何-第6讲-空间向量及其运算.docx

第6讲　空间向量及其运算

1．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．
(2)共面对量定理：假如两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理：假如三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
2．两个向量的数量积(与平面对量基本相同)
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝，则称向量a，b相互垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：
两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(3)向量的数量积的性质：
①a·e＝|a|cos〈a，e〉；
②a⊥b⇔a·b＝0；
③|a|2＝a·a＝a2；
④|a·b|≤|a||b|.
(4)向量的数量积满足如下运算律：
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②a·b＝b·a(交换律)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(支配律)．
3．空间向量的坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
cos〈a，b〉＝＝ .
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
[做一做]
1．已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥c，b∥c　　　　　　 B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
解析：选C.∵c＝(－4，－6，2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.
2．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是(　　)
A．a B．b
C．c D．2a
解析：选C.∵a＋b，a－b分别与a，b，2a共面，
∴它们分别与a＋b，a－b均不能构成一组基底．

1．辨明四个易误点
(1)留意向量夹角与两直线夹角的区分．
(2)共线向量定理中a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使a＝λb易忽视b≠0.
(3)共面对量定理中，留意有序实数对(x，y)是唯一存在的．
(4)向量的数量积满足交换律、支配律，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不愿定成立．
2．建立空间直角坐标系的原则
(1)合理利用几何体中的垂直关系，特殊是面面垂直．
(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．
3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法
用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要留意两种角的范围不同，最终应进行转化．
[做一做]
3．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.不妨设AB＝AC＝AA1＝1，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，－1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(－1，0，1)，
∴＝(0，1，1)，
＝(－1，0，1)，
∴cos〈，〉
＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，
∴异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.
4．已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，则线段AB的中点坐标和||分别是________．
解析：设P(x，y，z)是AB的中点，则
＝(＋)＝[(3，2，1)＋(1，0，4)]
＝(2，1，)，
dAB＝||＝＝.
答案：(2，1，)，

__空间向量的线性运算__________________

　如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.

[解]　(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝ ＋＋
＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋
＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋(a＋c＋b)
＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a.
∴＋
＝(a＋b＋c)＋(a＋c)＝a＋b＋c.
[规律方法]　用已知向量表示某一向量的方法：
用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．
　1. 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．

(1)化简－－＝________．
(2)用，，表示，则＝________．
解析：(1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝.
(2)＝＝(＋)．
∴＝＋＝(＋)＋
＝＋＋.
答案：(1)　(2)＋＋
__共线、共面对量定理的应用____________

　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：

(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
[证明]　(1)连接BG(图略)，
则＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋，
由共面对量定理的推论知，E，F，G，H四点共面．
(2)由于＝－
＝－＝(－)＝，
所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，
BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
[规律方法]　在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近．常见的向量处理方法见下表：
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ且同过点P
＝x＋y
对空间任意一点O，＝＋t
对空间任意一点O，＝＋x＋y
对空间任意一点O，＝x＋(1－x)
对空间任意一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
　2.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)推断，，三个向量是否共面；
(2)推断点M是否在平面ABC内．
解：(1)由题知＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
∴，，共面．
(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
__空间向量的数量积与坐标运算(高频考点)

通过近几年高考试题可以看出，试题以空间向量的运算为主，特殊是数量积的运算及其应用，更是考查的热点．高考中对空间向量的数量积的考查主要有以下三个命题角度：
(1)空间向量的数量积的运算；
(2)线与线垂直问题；
(3)线段长度问题．
　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝，b＝.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b相互垂直，求k的值．
[解]　∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a＝，b＝，
∴a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．
(1)cos θ＝＝＝－，
∴a和b的夹角θ的余弦值为－.
(2)∵ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)且(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝－或k＝2.
[规律方法]　(1)空间向量数量积的计算方法：
①定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cos θ.
②坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(2)数量积的应用：
①求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角．
②求长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
③解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
　3. (1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·＝(　　)

A．a2　　　　　　　 B.a2
C.a2 D.a2
(2)已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．
(3)已知点A(1，2，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若＝2，则||的值是________．
解析：(1)设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
又＝(a＋b)，＝c，
故·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)
＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
(2)∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2
＝(cos2θ＋1＋sin2θ)－(sin2θ＋1＋cos2θ)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)，即向量a＋b与a－b的夹角为90°.
(3)设P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1)．
＝(－1－x，3－y，4－z)，
由＝2，得点P坐标为(－，，3)，
又D(1，1，1)．∴||＝.
答案：(1)C　(2)90°　(3)

1．已知点A(－3，0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于(　　)
A．12　　　　　　　　　 B．9
C．25 D．10
解析：选D.点A关于原点对称的点B的坐标为(3，0，4)，故|AB|＝||＝＝10.
2．(2022·高考广东卷)已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
解析：选B.对于选项B，设b＝(1，－1，0)，则cos 〈a，b〉＝＝＝.由于0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正确．
3．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　)
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1
解析：选C. 如图，＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝，y＝.

4．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
解析：选B.如图，令＝a，＝b，＝c，
则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.

5．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　)
A.，－，4 B.，－，4
C.，－2，4 D．4，，－15
解析：选B.∵⊥，∴·＝0，
即3＋5－2z＝0，得z＝4.
又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝(3，1，4)，
则
解得
6．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，点Q在平面yOz上，则垂足Q的坐标为________．
解析：由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，
所以垂足Q的坐标为(0，，)．
答案：(0，，)
7．在下列条件中，使M与A、B、C确定共面的是________．
①＝2－－；②＝＋＋；③＋＋＝0；④＋＋＋＝0.
解析：∵＋＋＝0，∴＝－－，则、、为共面对量，即M、A、B、C四点共面．
答案：③
8．已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a、b、c表示向量＝________．
解析：如图所示，＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)．

答案：(b＋c－a)
9．(2021·郑州模拟)已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c.
求(1)a，b，c.
(2)a＋c与b＋c所成角的余弦值．
解：(1)由于a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)，又由于b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，
于是c＝(3，－2，2)．
(2)a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，因此a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝＝－.故a＋c与b＋c所成角的余弦值为－.
10. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：

(1)·；
(2)EG的长．
解：设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝＝c－a，
＝－a，＝b－c.
(1)·＝(c－a)·(－a)

＝－a·c＋a2
＝－＋＝.
(2)＝＋＋
＝＋(－)＋(－)
＝－＋＋＝－a＋b＋c，
∴2＝(－a＋b＋c)2
＝(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝，
∴||＝，即EG的长为.