【一线教师整理】2021届高三物理一轮复习讲解-教师版-第四讲-运动图象与追及相遇问题.docx

第四讲 运动图象与追及相遇问题
基础自测
1．图像：在平面直角坐标系中用纵轴表示位移x，横轴表示时间t，画出的图像就是位移–时间图像（其实是位置坐标图像），图像反映了物体运动的位移随时间变化的规律，如图所示．① 匀速直线运动的图像是一条倾斜直线；② 匀变速直线运动的图像是一条曲线．图线斜率的大小表示物体的速度的大小，斜率的正负表示速度的方向．
2．图像：在平面直角坐标系中用纵轴表示速度v，横轴表示时间t，画出的图像就是速度–时间图像．图像反映了物体运动的速度随时间变化的规律，如图所示．① 图线斜率的物理意义：图线上某点切线的斜率大小表示物体的加速度大小，斜率的正负表示加速度的方向．② 图线与时间轴围成的“面积”的意义：图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的物体的位移．若该面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若该面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向．
3．追及相遇问题：常见的追及、相遇问题的基本条件是两者速度相等．① 初速度为零（或较小）的匀加速直线运动的物体追匀速运动的物体，在速度相等时二者间距最大；② 匀减速直线运动的物体追匀速运动的物体，若在速度相等之前未追上，则在速度相等时二者间距最小；③ 匀速运动的物体追匀加速直线运动的物体，若在速度相等之前未追上，则在速度相等时二者间距最小．分析追及、相遇类问题时，要留意抓住题目中的关键字眼审题时要充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
实例指导
【例1】如图甲、乙所示的位移（x）– 时间（t）图像和速度（v）– 时间（t）图像中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的状况，则下列说法正确的是（ ）
A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动
B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程
C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远
D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
C；x – t图像表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化状况，而不是物体运动的轨迹．由x – t图像可知，甲、乙两车在0～t1时间内均做单向直线运动，且在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B错误．在v – t图像中，t2时刻丙、丁两车速度相同，故0～t2时间内，t2时刻两车相距最远，C正确．由图线可知，0～t2时间内丙车的位移小于丁车的位移，故丙车的平均速度小于丁车的平均速度，D错误．
【变式跟踪1】某汽车在启用ABS刹车系统和不启用该刹车系统紧急刹车时，其车速与时间的变化关系分别如图中的①、②图线所示，由图可知，启用ABS后（ ）
A．t1时刻车速更小 B．0～t1的时间内加速度更小
C．加速度总比不启用ABS时大
D．刹车后前行的距离比不启用ABS短
BD；由图知启用ABS后t1时刻车速较大，A错；由v – t图线斜率等于加速度可知，0～t1的时间内启用ABS后加速度较小，t1～t2的时间内启用ABS后加速度较大， B对、C错；由v – t图线所围面积等于对应时间内所发生的位移可知启用ABS刹车后前行的距离较短，D对．
【例2】将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，v – t图像如图所示．以下推断正确的是（ ）
A．前3 s内货物处于超重状态
B．最终2 s内货物只受重力作用
C．前3 s内与最终2 s内货物的平均速度相同
D．第3 s末至第5 s末的过程中，货物的机械能守恒
AC；由v – t图像可知，货物在前3 s内具有向上的加速度，因此货物处于超重状态，选项A正确；最终2 s内，货物具有向下的加速度，其大小为a = 3 m/s2 < g，因此货物在这一段时间内受重力和向上的拉力，选项B错误；货物在前3 s内的平均速度v1 = 3 m/s，最终2 s内的平均速度v2 = 3 m/s，两段时间内的平均速度相同，选项C正确；第3 s末至第5 s末的过程中，货物在向上的拉力和向下的重力作用下做匀速直线运动，拉力做正功．故机械能不守恒，选项D错误．
【变式跟踪2】甲、乙两车某时刻由同一地点，沿同一方向开头做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的位移图像如图所示，图像中的OC段与AB平行，CB段与OA平行，则下列说法中正确的是（ ）
A．t1到t2时刻两车的距离越来越远
B．0～t3时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度
C．甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度
D．t3时刻甲车在乙车的前方
C；由位移—时间图像可以看出，t1到t2时刻两车的距离没有发生变化，选项A错误；0到t3时间内甲、乙的位移相同，因此平均速度相同，选项B错误；图线斜率表示速度，可知甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度，选项C正确；t3时刻甲、乙走到了同一位置，选项D错误．因此正确选项为C．
【变式跟踪3】如图甲、乙所示的位移－时间（）图像和速度－时间（）图像中，给出了四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动状况，则下列说法中正确的是（ ）
A．图线1、3表示物体做曲线运动
B．v – t图像中0 ～ t1时间内物体1和2的平均速度相等
C．x – t图像中t4时刻物体3的速度大于物体4的速度
D．两图像中t2、t5时刻分别表示物体2和4开头反向运动
C；x – t、v – t图像都只能描述直线运动，A错；v – t图像中0～t1时间内物体1和物体2的位移不同，所以平均速度不同，B错；x – t 图像中图线上某点切线斜率的确定值表示该时刻速度的大小，所以t4时刻物体3的速度大于物体4的速度，C对；t2时刻物体2的运动方向不变，D错．
【例3】A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA = 10 m/s，B车在后，其速度为vB = 30 m/s．因大雾能见度低，B车在距A车700 m时才发觉前方有A车，这时B车马上刹车，但要经过1800 m，B车才能停止．问A车若按原速度前进，两车是否会相撞？说明理由．
依据两车的运动性质画出它们的运动过程示意图，如图所示．由题意可知，两车不相撞的速度临界条件是B车减速到与A车的速度相等（速度关系）．aB = vB2/2x = 0.25 m/s2，B车减速至vA = 10 m/s的时间t = 80 s，在这段时间（时间关系）内A车的位移为：xA = vAt = 800 m，则在这段时间内B车的位移为xB = vBt –aBt2/2 = 1 600 m，两车的位移关系：xB = 1600 m > xA + x0 = 1500 m，所以A、B两车在速度相同之前已经相撞．
【变式跟踪4】 交通路口是交通事故的多发地，驾驶员到交通路口时也格外当心．现有甲、乙两汽车正沿同一平直大路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为v0 = 8 m/s.当两车快要到十字路口时，甲车司机看到绿灯已转换成了黄灯，于是紧急刹车（反应时间忽视不计），乙车司机为了避开与甲车相撞也紧急刹车，但乙车司机反应较慢（反应时间为t = 0.5s）．已知甲车紧急刹车时制动力为车重的0.5倍，乙车紧急刹车时制动力为车重的 2/5，g = 10 m/s2．
⑴ 若甲车司机看到黄灯时车头距警戒线6.5 m，他实行了上述措施后是否会闯红灯？
⑵ 为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中应至少保持多大距离？
⑴ 甲车紧急刹车的加速度为a1 = f1/m1 = 5 m/s2，这段时间滑行距离s1 = v02/2a1 = 6.4 m，6.4 m < 6.5 m，甲车不会闯红灯．
⑵ 乙车紧急刹车的加速度为a2 = f2/m2 = 4 m/s2，乙车刹车过程中滑行的距离s2 = v02/2a2 =8 m，乙车在司机反应时间内的运动位移s3 = v0t = 8×0.5 m = 4 m，Δs = s2 + s3 – s1 = 5.6 m．
【变式跟踪5】在平直道路上，甲汽车以速度v匀速行驶，当甲车司机发觉前方距离为d处的乙汽车时，马上以大小为a1的加速度匀减速行驶，与此同时，乙车司机也发觉了甲，马上从静止开头以大小为a2的加速度沿甲车运动的方向匀加速运动．则（ ）
A．甲、乙两车之间的距离确定不断减小 B．甲、乙两车之间的距离确定不断增大
C．若v2 ＞2(a1 + a2)d，则两车确定不会相撞
D．若v2 ＜2(a1 + a2)d，则两车确定不会相撞
D；甲车做减速运动，乙车做加速运动，两车速度相同时，距离最小，若此时没有相撞，以后也不行能相撞．设两车相距为d时，两车恰好相撞，这种状况下甲车的速度为v0，依据v02 = 2(a1 + a2)d，若v＞v0，两车确定相撞；若v ＜v0，两车确定不会相撞．
【例4】将甲乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间间隔为2s，他们运动的v – t图像分别如直线甲、乙所示．则（ BD ）
A．t = 2s时，两球的高度差确定为40m
B．t =4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等
C．两球从抛出至落地到地面所用的时间间隔相等
D．甲球从抛出至达到最高点的时间间隔与乙球的相等
【猜想1】如图所示为某质点做直线运动的图像，关于这个质点在4s内的运动状况，下列说法中正确的是 （ ）
A．质点始终向同一方向运动
B．4s内通过的路程为4m，而位移为零
C．4s末质点离动身点最远
D．加速度大小不变，方向与初速度方向相同
B；图像的斜率不变，因此物体做匀变速直线运动，开头时速度方向与加速度方向相反，物体做减速运动，t = 2s时，物体速度减为零，然后物体反向加速运动，t = 4s时，回到起始点，由图可知物体所经受的路程为：L = 2×[(2 +0)/2]×2 m = 4 m，位移为零，故ACD错误，B正确．
【例5】如图，直线a和曲线b分别是在平直大路上行驶的汽车a和b的位置一时间（x – t）图线．由图可知（ ）
A．时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速领先削减后增加
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率始终比a车的大
BC；由x – t 图线分析可知，t1 时刻b车追上了a车，A选项错误；x – t图线斜率的正负表示运动方向，t2 时刻a车沿正方向运动，b车沿负方向运动，B选项正确；x – t图线斜率的大小表示速度大小，t1到t2这段时间内曲线b斜领先减小后增加，C选项正确，D选项错误．
（a）深度显示
（b）速度显示
【猜想2】“蛟龙号”深潜器经过多次试验，在2022年6月24日以7020m深度创下世界最新纪录（国外最深不超过6500m），预示着可以制服全球99.8％的海底世界，假设在某次试验时，深潜器内的显示屏上显示出了从水面开头下潜到最终返回水面10min内全过程的深度曲线（a）和速度图像（b），如图示则有（ ）
A．（a）图中h3代表本次最大深度，应为6.0m
B．全过程中最大加速度是0.025m/s2
C．潜水员感到超重现象应发生在3-4min和6-8min的时间段内
D．整个潜水器在8-10min时间段内机械能守恒
C；由题图可知，0-1min潜水器向下做加速运动，1-3min向下做匀速运动，3-4min向下做减速运动直至静止，4-6min潜水器静止不动，6-8min向上做加速运动，8-10min向上做减速运动直至静止在水面．（a）图中h3代表本次最大深度，由（b）图知最大深度应为360m，A错；由（b）图知全过程中最大加速度是 1/30 m/s2 = 0.033m/s2，B错；潜水员感到超重现象应发生加速上升和减速下降阶段，即3-4min和6-8min的时间段内，C正确；在8-10min时间段内潜水器受到重力之外的其他力的作用，其他力做功不为零，所以机械能不守恒，D错误
随堂演练
1．如图是A、B两质点从同一地点运动的图像，则下列说法错误的是（ ）
A．A质点以20 m/s的速度匀速运动
B．B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动
C．B质点最初4 s做加速运动，后4秒做减速运动
D．A、B两质点在4 s末相遇
C；x – t图像的斜率大小表示质点运动速度的大小，正负表示速度的方向，由x – t图像可知，A质点沿正方向做匀速直线运动，其速度v = x/t = 20 m/s，A正确；B质点最初4 s沿正方向做减速运动，后4 s沿负方向做加速运动，B正确、C错误；4 s末A、B两质点达到同一位置，故相遇，D正确．
2．下列图像均能正确反映物体在直线上的运动，在t = 2 s内物体位移最大的是（ ）

B；选项A中，当t = 2 s时，x = 0，这表示物体在t = 2 s内位移为0，即物体做的是一次来回运动；v - t图像与坐标轴所围图形的“面积”表示位移大小，当图形位于时间轴上方时表示位移方向为正，当位于下方时表示位移方向为负，观看选项图可知，选项B中的“图形”只位于横轴上方，这表示物体在t = 2 s内位移方向为正，大小等于图形的“面积”，而选项C、D中的“图形”有两部分组成，它们分别在横轴上下两侧，且两部分图形的“面积”大小相等，这表示物体在t = 2 s内位移均为0.选项B符合题意．
3．下列给出的四组图像中，能够反映同始终线运动的是（ ）

BC ；A、B选项中的左图表明0～3 s内物体匀速运动，位移正比于时间，加速度为零，3～5 s内物体匀加速运动，加速度大小a = Δv/Δt = 2 m/s2，A错、B对；C、D选项中左图0～3 s位移不变，表示物体静止(速度为零，加速度为零)，3～5 s内位移与时间成正比，表示物体匀速，v =Δx/Δt = 2 m/s，a＝0，C对、D错．
4．汽车A在红灯前停住，绿灯亮时启动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且始终以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开头 （ ）
A．A车在加速过程中与B车相遇 B．A、B相遇时速度相同
C．相遇时A车做匀速运动 D．两车不行能相遇
C；作出A、B两车运动的v – t图像如图所示，v – t图像所包围的“面积”表示位移，经过30 s时，两车运动图像所围面积并不相等，所以在A车加速运动的过程中，两车并未相遇，所以选项A错误；30 s后A车以12 m/s的速度做匀速直线运动，随着图像所围 “面积”越来越大，可以推断在30 s后某时刻两车图像所围面积会相等，即两车会相遇，此时A车的速度要大于B车的速度，所以两车不行能再次相遇，选项C正确，选项B、D错误．
5．如图所示，是从同一地点同时开头沿同始终线运动的两个质量相等的物体I、II的v-t图像.在0〜t2时间内，下列说法中正确的是（ ）
A．物体I所受的合外力不断增大，物体II所受的合外力不断减小
B．I、II两个物体的平均速度大小都是(v1 + v2)/2
C．在第一次相遇之前，t1时刻两物体相距最远
D．物体II所受的合外力所做的功大于物体I所受的合外力所做的功
C；由物体I、II的v-t图像.可知，物体II做匀减速直线运动，物体I做加速度渐渐减小的加速运动，由牛顿其次定律可知，物体I所受的合外力不断减小，物体II所受的合外力不变，选项A错误．物体I的平均速度大于(v1 + v2)/2，物体II的平均速度等于(v1 + v2)/2，选项B错误．依据速度图像与横轴所围面积等于位移可知， 在第一次相遇之前，t1时刻两物体相距最远，选项C正确．由动能定理可知，物体II所受的合外力所做的功为负功，物体I所受的合外力所做的功为正功，数值二者相等，选项D错误．
6．质量相等的甲乙两物体从离地面相同高度同时由静止开头下落，由于两物体的外形不同，运动中受到的空气阻力不同．将释放时刻作为t = 0时刻，两物体的速度图像如图所示．则下列推断正确的是（ ）
A．t0时刻之前，甲物体受到的空气阻力总是大于乙物体受到的空气阻力
B．t0时刻之前，甲物体中间时刻速度大于乙物体平均速度
C．t0时刻甲乙两物体到达同一高度
D．t0时刻之前甲下落的高度总小于乙物体下落的高度
D；由速度图像可知，t0时刻之前，乙物体加速度先大于甲后小于甲，由牛顿其次定律，mg – f = ma，t0时刻之前，甲物体受到的空气阻力先小于乙物体受到的空气阻力，后大于乙物体受到的空气阻力，选项A错误；t0时刻之前，甲物体中间时刻速度小于乙物体平均速度，选项B错误；t0时刻甲物体下落高度小于乙物体下落高度，选项C错误；t0时刻之前甲下落的高度总小于乙物体下落的高度，选项D正确．
7．甲、乙两车在平直大路上竞赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1 = 11 m处，乙车速度v乙 = 60 m/s，甲车速度v甲 = 50 m/s，此时乙车离终点线尚有L2 = 600 m，如图所示．若甲车加速运动，加速度a = 2 m/s2，乙车速度不变，不计车长．求：
⑴ 经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？
⑵ 到达终点时甲车能否超过乙车？
⑴ 当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即v甲 + at1 = v乙 得t1 = (v乙 – v甲)/a = 5 s；甲车位移x甲 = v甲t1 + at12/2 = 275 m，乙车位移x乙 = v乙t1 = 60×5 m = 300 m，此时两车间距离Δx = x乙 + L1 - x甲 = 36 m．
⑵ 甲车追上乙车时，位移关系x甲′ = x乙′ + L1，甲车位移x甲′ = v甲t2 + at22/，乙车位移x乙′ = v乙t2，将x甲′、x乙′代入位移关系，得v甲t2 + at22/ = v乙t2 + L1，代入数值并整理得t22 – 10t2 – 11 = 0，解得t2 = – 1 s（舍去）或t2 = 11 s，此时乙车位移x乙′ = v乙t2 = 660 m，因x乙′ > L2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能追上乙车．
8．一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a = 3 m/s2的加速度开头行驶，恰在这时一辆自行车以v0 = 6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：
⑴ 汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？
⑵ 当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？
⑴ 汽车和自行车的v – t 图像如图所示，由图像可得t = 2 s时，二者相距最远．最远距离等于图中阴影部分的面积，即Δs =6×2/2 m = 6 m.．
⑵ 两车距离最近时，即两个v – t图线下方面积相等时，由图像得此时汽车的速度为v = 12 m/s．