2020-2021学年高中数学(北师大版)必修二课时作业-1.6.1垂直关系的判定.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(九)垂直关系的判定一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2022淮北高一检测)三棱锥的四个面中直角三角形最多有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，选取顶点D1，D，A，B构成三棱锥D1-DAB，易知其四个面全是直角三角形.2.下列说法中正确的个数是()假如直线l与平面内的两条相交直线都垂直，则l；假如直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l；假如直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；假如直线l不垂直于，则内也可以有很多条直线与l垂直.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选D.由直线和平面垂直的定理知对，由直线与平面垂直的定义知正确，当l与不垂直时，l可能与内的很多条直线垂直，故不对，正确.3.(2022辽宁高考)已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是()A.若m，n，则mnB.若m，n，则mnC.若m，mn，则nD.若m，mn，则n【解析】选B.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1，AB1分别与平面CC1D1D平行，但是直线AA1，AB1相交，故选项A错误；依据线面垂直的定义，一条直线垂直一个平面，则该直线垂直于平面内的任一条直线，可见选项B正确；直线AA1平面ABCD，AA1BC，但直线BC平面ABCD，故选项C错误；直线AA1平面CC1D1D，AA1CD，但直线CD平面CC1D1D，故选项D错误.4.(2022泰安高一检测)三棱锥P-ABC中，ABC=90，PA=PB=PC，则下列说法正确的是()A.平面PAC平面ABCB.平面PAB平面PBCC.PB平面ABCD.BC平面PAB【解析】选A.如图，由于ABC=90，PA=PB=PC，所以点P在底面的射影落在ABC的斜边的中点O处，连接OB，OP，则POOB，又PA=PC，所以POAC，且ACOB=O，所以PO平面ABC，又PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC.5.在ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是()A.5B.2C.35D.45【解析】选D.如图所示，作PDBC于D，连接AD，由于PA平面ABC，所以PABC，PDPA=P，所以CB平面PAD，所以ADBC.由于AB=AC，所以CD=BD=3.在RtACD中，AC=5，CD=3，所以AD=4，在RtPAD中，PA=8，AD=4，所以PD=82+42=45.6.(2021兰州高一检测)长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=23，CC1=2，则二面角C1-BD-C的大小为()A.30B.45C.60D.90【解析】选A.由于ABCD-A1B1C1D1是长方体，所以CC1平面ABCD，所以BDCC1.由于ABCD是矩形，且AB=AD，所以ABCD是正方形，所以BDAC.又ACCC1=C，所以BD平面AA1C1C，所以COC1是二面角C1-BD-C的平面角，RtCC1O中C1CO=90，CC1=2，OC=22BC=2223=6，所以tanCOC1=CC1OC=26=33，所以COC1=30.二、填空题(每小题4分，共12分)7. (2022杭州高二检测)四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=2a，则PC=_.【解析】连接AC，由于PA=AB=a，PB=2a，所以PA2+AB2=PB2，所以PAAB，同理可证PAAD，又ABAD=A，所以PA平面ABCD，所以PAAC，故PC=PA2+AC2=a2+2a2=3a.答案：3a8.(2022西安高一检测)平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P在ABCD所在平面外，且PA=PC，PD=PB，则PO与平面ABCD的位置关系是_.【解析】由于AO=CO，PA=PC，所以POAC，由于BO=DO，PD=PB，所以POBD.又ACBD=O，所以PO平面ABCD.答案：PO平面ABCD9.如图，正四棱锥P-ABCD中，PO底面ABCD，O为正方形ABCD的中心，PO=1，AB=2，则二面角P-AB-D的大小为_.【解题指南】先找二面角的平面角，然后放在直角三角形中求解.【解析】如图所示，取AB中点E，连接PE，OE.由O为正方形ABCD的中心知ABEO.由PA=PB，E为AB中点，知ABEP，所以PEO为二面角P-AB-D的平面角，在RtPEO中，tanPEO=POOE=PO12AB=1122=1.所以PEO=45.答案：45三、解答题(每小题10分，共20分)10.如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是菱形，且DAB=60，PA=PD，E，F分别是BC，PC的中点.证明：AD平面DEF.【证明】取AD的中点G，连接PG，BG，由于PA=PD，所以ADPG.设菱形ABCD边长为1，在ABG中，由于GAB=60，AG=12，AB=1，所以AGB=90，即ADGB.又PGGB=G，所以AD平面PGB，所以ADPB.由于E，F分别是BC，PC的中点，所以EFPB，ADEF，又DEGB，ADGB，所以ADDE，又DEEF=E，所以AD平面DEF.11.(2022江苏高考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点.求证：(1)平面ADE平面BCC1B1.(2)直线A1F平面ADE.【解题指南】(1)关键在平面ADE与平面BCC1B1中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直.(2)关键在平面ADE内找一条直线与直线A1F平行.【证明】(1)D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，又因三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以有BB1平面ADC，即有ADBB1.又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，所以有AB=AC.又由(1)知AD平面BCC1B1，所以ADBC，所以D为边BC上的中点，连接DF，得AA1FD为平行四边形，故A1FAD，又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以直线A1F平面ADE.【拓展延长】利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧证明线面垂直时要留意分析几何图形，查找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直.三角形全等，等腰三角形、梯形底边的中线、高，菱形、正方形的对角线，三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.一、选择题(每小题4分，共16分)1.下列命题正确的是()过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；假如一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；过不在平面内的一条直线可作很多个平面与已知平面垂直；假如两个平面相互垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.A.B.C.D.【解析】选D.过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以不对；若，a，则a或a，所以不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作很多个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，所以也不对.2.(2022汉中高一检测)设，为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个命题：若，则；若，l，则l；若=l，=m，=n，l，则mn.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.中与可能相交，正确.3.(2022吉安高二检测)已知PA矩形ABCD所在的平面如图所示，图中相互垂直的平面有()A.1对B.2对C.5对D.4对【解析】选C.由于DAAB，DAPA，ABPA=A，所以DA平面PAB，同理BC平面PAB，AB平面PAD，DC平面PAD，所以平面ABCD平面PAD，平面ABCD平面PAB，平面PBC平面PAB，平面PDC平PAD，平面PAB平面PAD.4.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BDCD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四周体A-BCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()A.ACBDB.BAC=90C.ADC是正三角形D.四周体A-BCD的体积为13【解析】选B.若ACBD，又已知BDCD，则BD平面ACD，即BDAD，与已知BD与AD不垂直冲突，故ACBD不正确.由BDCD，平面ABD平面BCD，我们易得CD平面ABD，所以CDAB，又由AB=AD=1，BD=2，可得ABAD，又ADCD=D，则AB垂直于平面ACD，所以BAC=90，故B正确.由CD平面ABD得CDAD，即ADC是直角三角形，故C错误；由于四周体A-BCD的体积V=13CDSABD=16，所以D错误；故选B.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2022哈尔滨高一检测)四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小为_.【解析】取AB，CD的中点E，F，连接VE，VF，EF，由于底面ABCD是边长为2的正方形，侧面都是棱长为5的等腰三角形，所以VEAB，EFAB，所以VEF即为二面角V-AB-C的平面角.又EF=BC=2，VE=VA2-AE2=2=VF，故VEF为等边三角形，所以VEF=60.答案：606.(2022马鞍山高一检测)在空间四边形ABCD中，ABD，CBD都是边长为1的正三角形，且平面ABD平面CBD，E，F，G，H为空间四边形AB，AD，CD，BC边上的中点，则四边形EFGH的面积是_.【解析】依题意，作图如下：取BD的中点为O，连接AO，CO，由于ABD，CBD都是边长为1的正三角形，所以AOBD，COBD，AOCO=O，所以BD平面AOC，AC平面AOC，所以BDAC.由于E，F，G，H为空间四边形AB，AD，CD，BC边上的中点，所以EFGH12BD=12，FGEH12AC，由于BDAC，故EFFG，即四边形EFGH为矩形.在等腰直角三角形AOC中，AC2=AO2+CO2=322+322=32，所以AC=62，故FG=64，所以四边形EFGH的面积S=EFFG=1264=68.答案：68三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2022宿州高一检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1BC，A1AC=60，AA1=AC=BC=1，A1B=2.(1)求证：平面A1BC平面ACC1A1.(2)假如D为AB的中点，求证：BC1平面A1DC.【证明】(1)在A1AC中，A1AC=60，AA1=AC=1，所以A1C=1，在A1BC中，BC=1，A1C=1，A1B=2，由于BC2+A1C2=A1B2，所以BCA1C，又AA1BC，AA1A1C=A1，所以BC平面ACC1A1，由于BC平面A1BC，所以平面A1BC平面ACC1A1.(2)连接AC1，交A1C于O，连接DO，则由D为AB中点，O为AC1中点得，ODBC1，OD平面A1DC，BC1平面A1DC，所以BC1平面A1DC.【变式训练】如图，已知三棱锥P-ABC，ACB=90，D为AB的中点，且PDB是正三角形，PAPC.求证：(1)PA平面PBC.(2)平面PAC平面ABC.【解题指南】(1)关键是依据PDB是正三角形，D是AB的中点证明PAPB.(2)关键是证明BC平面PAC.【证明】(1)由于PDB是正三角形，所以BPD=60.由于D是AB的中点，所以AD=BD=PD.又ADP=120，所以DPA=30，所以DPA+BPD=90，即APB=90，所以PAPB.又PAPC，PBPC=P，所以PA平面PBC.(2)由于PA平面PBC，所以PABC.由于ACB=90，所以ACBC.又PAAC=A，所以BC平面PAC.由于BC平面ABC，所以平面PAC平面ABC.8.(2022武汉高二检测)如图，在四周体ABOC中，OCOA，OCOB，AOB=120，且OA=OB=OC=1，(1)设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQOA，并计算ABAQ的值.(2)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.【解析】(1)在平面OAB内作ONOA交AB于N，连接NC，又OAOC，ONOC=O，所以OA平面ONC.由于NC平面ONC，所以OANC，取Q为AN的中点，连接PQ.则PQNC，所以PQOA.在等腰AOB中，AOB=120，所以OAB=OBA=30.在RtAON中，OAN=30，所以ON=12AN=AQ.在ONB中，NOB=120-90=30=NBO，所以NB=ON=AQ，所以ABAQ=3.(2)连接PN，PO.由于OCOA，OCOB，OAOB=O，所以OC平面OAB.又ON平面OAB，所以OCON，又由ONOA，OAOC=O，所以ON平面AOC.所以OP是NP在平面AOC内的射影.在等腰RtCOA中，P为AC的中点，所以ACOP，又ONAC，且ONOP=O，故AC平面OPN，所以ACNP，所以OPN为二面角O-AC-B的平面角.在等腰RtCOA中，OC=OA=1，所以OP=22，在RtAON中，ON=OAtan30=33，所以在RtPON中，PN=OP2+ON2=306，所以cosOPN=POPN=22306=155.【变式训练】如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是AB的中点，沿DE将ADE折起.(1)假如二面角A-DE-C是直二面角，求证：AB=AC.(2)假如AB=AC，求证：平面ADE平面BCDE.【证明】(1)过点A作AMDE于点M，则AM平面BCDE，所以AMBC.又AD=AE，所以M是DE的中点.取BC中点N，连接MN，AN，则MNBC.又AMBC，AMMN=M，所以BC平面AMN，所以ANBC.又由于N是BC中点，所以AB=AC.(2)取BC的中点N，连接AN.由于AB=AC，所以ANBC.取DE的中点M，连接MN，AM，所以MNBC.又ANMN=N，所以BC平面AMN，所以AMBC.又M是DE的中点，AD=AE，所以AMDE.又由于DE与BC是平面BCDE内的相交直线，所以AM平面BCDE.由于AM平面ADE，所以平面ADE平面BCDE.关闭Word文档返回原板块