东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：双曲线A.docx

双曲线(教案)A
一、 学问梳理：
1. 双曲线的定义

定义的理解:
(1)当2a=2c时, ; 当2a>2c时,
(2)当a=0时, ;
(3)当|MF1|-| MF2|=2a时,表示 ; 当|MF2|-| MF1|=2a时,表示
2.双曲线的标准方程:焦点在x轴上的标准方程: x2a2-y2b2 =1(a>0,b>0)．焦点在y轴上的标准方程: y2a2-x2b2 =1(a>0,b>0)
两种方程可用统一形式表示:Ax2+ By2=1 (AB<0) ,当A>0,B<0时,焦点在 轴上,当A<0,B>0时,焦点在 轴上; 对双曲线的两种标准方程，都有(a>0,b>0)，焦点都在实轴上，且a、b、c始终满足c2=a2+b2
3.双曲线焦点所在的轴的判定方法:在标准方程中,只要看系数,假如x2为正,y2的系数为负,则双曲线的焦点在x轴上,反之,焦点在y上.
4.双曲线的几何性质
对于双曲线 x2a2-y2b2 =1(a>0,b>0)
(1) 范围:由标准方程可知, x2a2-y2b2 =1(a>0,b>0)|x|≥a ,说明双曲线位于直线x=±a的两侧;
(2) 对称性: 双曲线 x2a2-y2b2 =1(a>0,b>0) 关于直线x轴,y轴,及原点对称;
(3) 顶点:A1(-a,0), A2(a,0) 是双曲线与x轴的两个交点, B1(0,-b), B2(0,b)线段A1A2、B1B2分别叫双曲线的实轴与虚轴，它们的长分别是2a，2b；a，b分别叫双曲线的半实轴长与半虚轴长。
(4) 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比值e= ca 叫双曲线的离心率，范围：（1，+∞），越接近于1越窄狭，越大开阔，常用计算：e2=1+ c2 a2 ；双曲线上点到焦点和直线x= a2c 的距离之比等于离心率，由此可以求出双曲线上的点到相应的焦点的距离（焦半径）p在右支上时,|pF1|= ex0+a |pF2|= ex0-a ;p在左支上时, |pF1|=-( ex0+a) |pF2|=-( ex0-a )( F1, F2为左、右焦点)
(5) 双曲线的渐近线
求法：将方程中的常数变为0
特点：与渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点。
有共同渐近线的双曲线系:与双曲线有共同渐近线的双曲线可设为x2a2-y2b2 =λ(a>0,b>0,λ≠0)
5.（选讲内容）双曲线的参数方程：双曲线 x2 a2-y2b2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： x=secθy=tanθ （θ）
为参数
6.二次曲线的弦长公式：
整理得到x的方程：
整理得到y的方程：
7.等轴双曲线：
x2-y2=λ(λ≠0)
渐近线:y=±x
离心率:e=2
xy=1是等轴双曲线
8.共轭双曲线: x2 a2-y2b2 =±1(a>0,b>0)
二、题型探究
探究一：双曲线的标准方程（求双曲线方程常用方法：待定系数法）
例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程
（1）、两个焦点坐标分别为（-4，0）、（4，0），双曲线上的点P到两个焦点的距离之差为6；

（2）、与椭圆x2 25+y25 =1共焦点且过点B(32 ,2)

（3）、求以椭圆x2 25+y216 =1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线标准方程

探究二：双曲线的几何性质
例2：依据下列条件,求双曲线的标准方程
(1)与双曲线x2-y2=1有共同的渐近线,且过点(-3, 23).

(2)与双曲线x2-y2=1有共同的焦点,且过点(32, 2).

(3)双曲线的一条渐近线与x轴夹角为300,且过点(1,1).

探究三：直线与双曲线
例3：
(1)、已知双曲线，过点能否作直线交双曲线于、两点，且线段中点为？若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．
解：这样的直线不存在,可用点差法解AB的斜率为2,这与判别式大于零冲突.

(2)、过双曲线的右焦点作直线L交双曲线于两点，求线段的中点的轨迹方程。
解：易得右焦点为，则有：，两式相减：由题设条件得：，， 代入得：
。
三、方法提升
（1）、娴熟把握双曲线的标准方程，特殊是a，b，c，e四个数值的换算关系；
（2）、把握双曲线的定义、几何性质，通过运算得到的双曲线特殊结论要留下深刻印象；特殊是渐近线的重要结论.
（3）、为简化运算，处理交点问题时，常接受“设而不求”的方法，一般是设出交点后，再用韦达定理处理，这种方法在处理直线与双曲线的位置关系中极为重要。
四、反思感悟

五、课时作业
一、选择题（每小题6分，共42分）
1.若方程=-1表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是（ ）
A.（0，1） B.（1，2） C.（1，+∞） D.以上都不对
答案：C
解析：=1，又焦点在y轴上，则m-1>0且|m|-2>0,故m>2，c=>1.
2.(2010江苏南京一模，8)若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：设双曲线方程为=1,则F（c,0）到y=x的距离为=2ab=2a, e=.
3.(2010湖北重点中学模拟，11)与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点（-3, 4）的双曲线方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
解析：设双曲线为=λ,∴λ==-1,故选A.
4.设离心率为e的双曲线C：=1（a>0,b>0）的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C在左、右两支都相交的充要条件是（ ）
A.k2-e2>1 B.k2-e2<1 C.e2-k2>1 D.e2-k2<1
解析：双曲线渐近线的斜率为±，直线l与双曲线左、右两支都相交，则-<k<，即k2<=e2-1，即e2-k2>1.
5.下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3,则( )

A.e1>e2>e3 B.e1<e2<e3 C.e1=e3<e2 D.e1=e3>e2
答案：D
解析：e1=+1,
对于②，设正方形边长为2，则|MF2|=，|MF1|=1，|F1F2|=2,
∴e2=;
对于③设|MF1|=1,则|MF2|=,|F1F2|=2,
∴e3=+1.
又易知+1>,故e1=e3>e2.
6.(2021湖北重点中学模拟,11)已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F1、F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若=e,则e的值为( )
A. B. C. D.
解析：设P（x0,y0）,则ex0+a=e(x0+3c)e=.
7.(2022江苏南通九校模拟，10)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为(O为原点)，则两条渐近线的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析：A（）,S△OAF=··c=a=b,故两条渐近线为y=±x,夹角为90°.
二、填空题（每小题5分，共15分）
8.已知椭圆=1与双曲线=1(m>0,n>0)具有相同的焦点F1、F2，设两曲线的一个交点为Q，∠QF1F2=90°，则双曲线的离心率为______________.
解析：∵a2=25,b2=16,∴c==3.又|QF1|+|QF2|=2a=10,|QF2|-|QF1|=2m,
∴|QF2|=5+m,|QF1|=5-m.又|QF2|2=|QF1|2+|F1F2|2，
即（5+m）2=(5-m)2+62m=,∴e==.
9.(2022湖北黄冈一模，15)若双曲线=1的一条准线恰为圆x2+y2+2x=0的一条切线，则k等于_________________.
解析：因圆方程为(x+1)2+y2=1,故-=-2,即=2,k=48.
10.双曲线-y2=1(n>1)的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为_______________.
解析：不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2，故|PF1|=,|PF2|=,又|F1F2|2=4（n+1）=|PF1|2+|PF2|2，∴△PF1F2为Rt△.故=|PF1|·|PF2|=1.
三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）
11.若双曲线=1(a>0,b>0)的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点，求离心率e的取值范围.
解析：如右图，设点M（x0,y0）在双曲线右支上，依题意，点M到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离|MN|，即

|MF2|=|MN|.
∵=e,∴=e,=e.∴x0=.
∵x0≥a,∴≥a.∵≥1,e＞1,∴e2-e>0.
∴1+e≥e2-e.∴1-≤e≤1+.但e>1,∴1<e≤1+.
12.已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P而离心率为的双曲线方程.
解析：以O为原点,∠P1OP2的角平分线为x轴建立如右图所示的直角坐标系,设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由e2==1+()2=()2得.

∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=-x，设点P1（x1,x1），点P2（x2,-x2）(x1＞0,x2＞0),则点P分所成的比λ==2.得P点坐标为(),即（）,又点P在双曲线=1上.所以=1,即（x1+2x2）2-(x1-2x2)2=9a2.8x1x2=9a2. ①又|OP1|=x1,|OP2|=x2,
sinP1OP2=，∴=|OP1|·|OP2|·sinP1OP2=·x1x2·=，即x1x2=. ②,由①②得a2=4,∴b2=9,故双曲线方程为=1.
13.(2022江苏扬州中学模拟，23)已知倾斜角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，其中B在第一象限，且|AB|=3.
（1）求点B的坐标；
（2）若直线l与双曲线C:-y2=1(a>0)相交于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为（4，1），求实数a的值.
解：（1)直线AB方程为y=x-3,设点B（x,y），
由及x>0,y>0,得x=4,y=1,∴点B的坐标为（4，1）.
（2）由得（-1）x2+6x-10=0.
设E（x1,y1）,F(x2,y2),则x1+x2==4,得a=2,此时，Δ>0,∴a=2.
14.如右图，F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点，点A的坐标是（,-）,点B在双曲线上，且·=0.

(1)求点B的坐标；（2）求证：∠F1BA=∠F2BA.
（1）解析：依题意知F1（-2,0）,F2(2,0),A(,-).
设B（x0,y0）,则=(,-),=(x0-,y0+),
∵·=0，∴(x0-)-(y0+)=0,
即3x0-y0=2.又∵x02-y02=1,∴x02-(3x0-2)2=1,(2x0-3)2=0.
∴x0=,代入3x0-y0=2,得y0=.∴点B的坐标为（,）.
（2）证明：=(-,-),BF2=(,-),=(-,-),
cosF1BA=,cosF2BA=,
∴∠F1BA=∠F2BA.