河北省石家庄市2021届高三下学期一模考试数学(理)试题-Word版含答案.docx

2021届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷
数学(理科)A卷
（时间120分钟，满分150分）
留意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第1卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．已知i为虚数单位，则复数 =
A.2+i B.2-i C.-l-2i D.-1+2i
2．已知集合 ，则
A. B. C. D.
3.已知 ，则
A． B．
C． D．
4．下列说法中，不正确的是
A．已知 ，命题“若 ，则a<b”为真命题；
B．命题“ ”的否定是：“ ”；
C．命题“p或q”为真命题，则命题p和q命题均为真命题；
D．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件．
5．已知偶函数f(x)，当 时， ，当 时，
则
A． B.1 C．3 D．
6．执行下面的程序框图，假如输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为

A．2 B． C．4 D．6
7．如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，底面是边长为
2的正三角形，侧棱长为3，则 与平面 所成的角的大
小为
A． B． C． D．
8．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在D地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线大路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不精确．则该测绘队员能够得到精确数据的概率是
A． B． c． D．
9．已知抛物线 的焦点F恰好是双曲线 的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为
A． B． C D
10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A.64 B.72 C.80 D.112
11.已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形
一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，
CD=5．DA =3，则四边形ABCD面积．s的最大值为
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若关于戈的方程
有8个不同的实数根，则由点(b，c)确定的平面区域的面积为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知平面对量a，b的夹角为 ，则 __________．
14.将甲、乙、丙、丁四名同学分到两个不同的班，每个班至少分到一名同学，且甲、乙两名同学不能分到同一个班，则不同的分法的种数为_________（用数字作答）．
15.设过曲线 （e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ，总存在过曲线 上一点处的切线 ，使得 ，则实数a的取值范围为______．
16.已知椭圆 的两个焦点分别为 ，设P为椭圆上一点， 的外角平分线所在的直线为 ，过 分别作 的垂线，垂足分别为R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为_______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
设数列 的前n项和为 ，且 为等差数列 的前三项．
(I)求数列 、 的通项公式；
(II)求数列 的前n项和．
18．（本小题满分12分）
集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要修理，且修理集成电路E所需费用为100元．
(I)求集成电路E需要修理的概率；
(II)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要修理集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BAC=BAD=90，AP=AD=AB=,BC=t,PAB=PAD=
(I)当 时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时 的值；
(II)当 =60 时，若平面PAB 平面PCD，求此时棱BC的长．

20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点 且与直线 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.
(I)求曲线E的方程；
(II)设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为
求△PBC面积的最小值．
21.（本小题满分12分）
已知函数
(I)若以 在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；
(II)设 的导函数 的图象为曲线C，曲线C上的不同两点 所在直线的斜率为，求证：当 时 .
请考生在第22—24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分．
22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，已知O和 M相交于A、B两点，AD为 M的直径，
延长DB交 O于C，点G为弧BD中点，连结AG分别交
O、BD于点E、F，连结CE.
(I)求证：
(II)求证：
23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程为 （为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为=2.
(I)分别写出 的一般方程， 的直角坐标方程．
(n)已知M，N分别为曲线 的上、下顶点，点P为曲线 上任意一点，求 的最大值．
24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数 的定义域为R．
(I)求实数m的取值范围．
(II)若m的最大值为n，当正数a、b满足 时，求7a+4b的最小值．

2021年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试
高三数学(理科答案)
一、 选择题（A卷）
1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA
一、选择题（B卷）
1-5 DBADC 6-10 BACDB 11-12BA
二、 填空题
13 14 8
15 16
三、 解答题（阅卷时发觉的正确解答，请老师参阅此评分标准酌情给分）
17解：
（1）解法1∵
∴
∴，即，
又
∴数列为以1为首项，公比为的等比数列，…………………………………2分
∴，
∴，整理得，得……………………4分
∴，………………………………………………6分
解法2：∵
∴
∴，整理得，得………………………2分
∴
∴
∴，即，
又
∴数列为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分
∴，
………………………………………………………………………6分
（2）
∴………………………①
∴………②…………8分
① —②得
…………………………………10分
整理得：…………………………………………………………12分

18解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为大事，则.
依题意，集成电路E需要修理有两种情形：
①3个元件都不能正常工作，概率为
； …………2分
②3个元件中的2个不能正常工作，概率为
……………5分
所以,集成电路E需要修理的概率为． ……………6分
（Ⅱ）设为修理集成电路的个数，则，而，
…………9分
的分布列为：

0
100
200

………………10分

或. …………12分

19解：

(1) 证明一
连接交于点,在平面中做∥交于,
由于平面，平面
∥平面，---------------2
∥
由于∥,-------------4

证明二
在棱上取点，使得,------------2
连接交于点,
∥

所以，∥
由于平面，平面
所以∥平面-------------4
(2)取上一点使得连结,则为正方形.
过作⊥平面,垂足为.
连结.
，
所以和都是等边三角形，因此,
所以,
即点为正方形对角线的交点,---------------7

（或取的中点,连结,则为正方形.
连接交于点，连接，
，

-----------7）

以坐标原点，分别以的方向为轴，轴,轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

设棱的长为 ，则 ,
--------------9
,-----------10

-----------11
解得t=----------------12
20解：（1）由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：.………………………4分
（2）设，，
直线PB的方程为：，
又圆心（1，0）到PB的距离为1，
，整理得：， …………………………6分
同理可得：，所以，可知是方程的两根，
所以：……………………8分
依题意，即，
则，由于，所以：
，………………10分
所以，
当时上式取得等号，所以面积最小值为8.………………………12分
解二：
（2）设，直线PB：与圆D相切，则
，整理得：

，……………………6分
,………………………8分
依题意
那么，
由韦达定理得：，则，…………………10分
所以

当时上式取得等号，所以面积最小值为8.…………………12分
21. 解：
（1）由，得．由于在区间上单调递增，则在上恒成立，………………2分
即在上恒成立，设，则，所以在上单调递减，故，所以．……………4分
（2）
解法一：

而＝
＝
故欲证 ，只需证…………………6分
即证成立∵…………………8分
设，，则
令得，列表如下：

微小值

………………………10分
∴ ∴， 即
∴当时，…………………12分
解法二：对于任意两个不相等的正数、有
＝
＝ …………………8分
∴ 而
∴＝
＝…………………10分
故： ， 即 ∴当时，………12分
22. 证明：（1）连结，，
∵为的直径，∴，
∴为的直径, ∴,
∵，∴,
∵为弧中点，∴，
∴,
∴∽，……………3分
∴， ∴。
…………………5分
（2）由（1）知，,∴∽,……………7分
∴, 由（1）知，∴． ………………10分
23.解：（1）曲线的一般方程为，……………………2分
曲线的一般方程为. ……………………4分
（2）
法一：由曲线：，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知.
因此
……………………6分
.
所以当时，有最大值28，……………………8分
因此的最大值为. ……………………10分
法二：设点坐标为，则，由题意可知.
因此
……………………6分
.
所以当时，有最大值28，……………………8分
因此的最大值为. ……………………10分
24.
解：（1）：由于函数定义域为，所以0恒成立，…………………2分
设函数，则不大于函数的最小值，
又，即的最小值为4，所以.…………5分
（2）：由（1）知，
所以 …………6分
……………………8分
当且仅当
……………………10分