高中数学(北师大版)必修五教案:1.1-拓展资料:求数列通项公式的常用方法.docx
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求数列通项公式的常用方法 求数列的通项公式是数列考题中的常见形式,是利用数列学问考查数字运用力气的常见题型,在各类选拔性考题中经常毁灭,为了挂念同学们把握这类学问,下面归纳几种常用的方法,供参考。 一、 运用等差数列和等比数列学问 若题设中已知数列的类型,我们可用其性质及有关公式来求解。 例1:若等差数列{an}满足bn=(),且b1+b2+b3=,b1·b2·b3=,求通顶公式an. 解析:由b1·b2·b3=a1+a2+a3=3a2=1,依据题设可设等差数列{an}的公差为d,则由b1+b2+b3=,∴()1-d+()1+()1+d=d=2或d=-2,∴an=a2+(n-2)d=2n-1或an=5-2n。 二、 运用Sn与an的关系 当n=1时,S1=a1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1。 例2:已知数列{an}的前n项和Sn=10n+1,求通项公式an. 解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=10n+1-(10n-1+1)=9·10n-1,又当n=1时,a1=S1=11不适合上式,∴通项公式an=。 例3:正项数列{an}的前n项和为Sn,若2=an+1(n∈N*),求通项公式an. 解析:依据题设2=an+1得4Sn=an2+2an+1,当n≥2时,有4Sn-1=an-12+2an-1+1,二式相减,得4an=an2-an-12+2(an-an-1),即an2-an-12-2(an+an-1)=0,由an>0知an-an-1=2,所以{an}是2为公差的等差数列,当n=1时,由4S1=a12+2a1+1a1=1,故an=2n-1. 三、 累加法和累乘法 若已知数列的递推公式为an+1=an+f(n)可接受累加法,数列的递推公式 为an+1=an·f(n)则接受累乘法。 例4:在数列{an}中a1=1,当n≥2时,有an=3an-1+2,求其通项an. 解析:由递推式知an+1=3an+2,又an=3an-1+2,二式相减,得an+1-an=3(an-an-1),因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列。其首项为a2-a1=(3×1+2)-1=4,∴an+1=an+4·3n-1,则有a2-a1=4,a3-a2=4·3,a4-a3=4·32……an-an-1=4·3n-2,把n-1个等式累加得an-a1=4(1+3+32+……3n-2)=2(3n-1-1),则有an=2·3n-1-1. 例5:设{an}是首项为1的正项数列且(n+1)·an+12-nan2+an+1·an=0(n=1,2, 3……),求它的通项公式an. 解析:由(n+1)·an+12-nan2+an+1·an=0得(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0,又an,an+1>0,∴an+1=an,则a2=a1, a3=a2……an=an-1,把n个式子累乘得: an=()·()……()·a1,又a1=1故得an=。 四、 待定系数法 对于形如an+1=pan+q(p,q为常数)的递推公式都可以接受此法,即可设 an+1-t=p(an-t)再设法求出参数t. 例6(同例4) 解析:由题设知an+1=3an+2,可化为an+1-t=3(an-t),即an+1=3an-2t,比较系数得-2t=2,即t=-1,于是an+1+1=3(an+1),故数列{an+1}是公比为3的等比数列,首项为a1+1=2,则an+1=2·3n-1,即an=2·3n-1-1。 五、 恒等变形法 将给出式恒等变形,使之转化为与an或Sn有关的等差和等比数列,此法 有确定的技巧性。 例7:在数列{an}中,已知a1=1,an=(n≥2),求通项an. 解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,则2 SnSn-1 =- Sn + Sn-1 ,两边同除以SnSn-1 得 -=2 (n≥2),又a1=S1=1,则=1,∴数列{}是以=1为首项,2为公差的等差数列,∴=1+(n-1)·2=2n-1,∴Sn=,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-= - ,而n=1时,a1=S1=1不适合上式,∴an=。 例8:已知通项数列{an}的前n项Sm满足Sn=(an+),求通项an。 解析:由Sn=(an+),当n=1时,S1=a1=(a1+)a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1,则2Sn=Sn-Sn-1+,∴Sn+Sn-1=,即Sn2-Sn-12=1,∴数列{Sn2}是公差为1的等差数列,且首项S12=a12=1,∴Sn2=1+(n-1),又Sn>0,∴Sn=,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,又当n=1时也适合上式,故an=n-. 六、 猜证法 依据给出的公式,先求出数列的前n项,从中观看出规律,猜出通项公式, 再用数学归纳法证明。 例9:已知数列{an}满足a1=1,Sn=,求通项an. 解析:由a1=1,当n=2时,a1+a2=a2a2=2a1=2,当n=3时,a1+a2+a3=2a3 a3=3,同理可得a4=4,……猜想得an=n,下面用数学归纳法证明。 1°当n=1,2,3时,已验算成立,2°假设n=k时,猜想成立,即ak=k,当n=k+1时,Sk+1=ak+1,又Sk=ak=,二式相减,得aK+1=ak+1-ak+1=ak+1=k+1,即n=k+1时猜想也成立,由1°2°知对于一切自然数n都有an=n.- 配套讲稿:
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