2020年数学文(广西用)课时作业：第六章-第五节不等式的综合应用.docx

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课时提升作业(三十二)
一、选择题
1.设M=a+(2<a<3),N=lo(x2+)(x∈R),那么M,N的大小关系是(　　)
(A)M>N (B)M=N
(C)M<N (D)不能确定
2.(2022·重庆高考)设函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=3x-2,集合M={x∈R|f(g(x))>0},
N={x∈R|g(x)<2},则M∩N为(　　)
(A)(1,+∞) (B)(0,1)
(C)(-1,1) (D)(-∞,1)
3.(2021·济南模拟)直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长,则+的最小值是(　　)
(A)4 (B)2 (C) (D)
4.(2021·南宁模拟)已知0<α<,设x=(sinα)sinα,y=(cosα)sinα,z=(sinα)cosα,则(　　)
(A)x<z<y (B)z<x<y
(C)y<z<x (D)x<y<z
5.某商品方案提价,现有四种方案:
方案(Ⅰ)先提价m%,再提价n%;
方案(Ⅱ)先提价n%,再提价m%;
方案(Ⅲ)分两次提价,每次提价()%;
方案(Ⅳ)一次性提价(m+n)%.
已知m>n>0,那么四种提价方案中,哪一种提价最多(　　)
(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ
6.(2021·玉林模拟)设a=lg2+lg5,b=ex(x<0),则a与b的大小关系是(　　)
(A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)a≤b
7.若数列{an}满足-=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列{}为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,则b4·b6的最大值是(　　)
(A)10 (B)100 (C)200 (D)400
8.已知函数f(x)=()x-log2x,正实数a,b,c成公差为正数的等差数列,且满足f(a)f(b)f(c)<0,若实数d是方程f(x)=0的一个解,那么下列推断:
①d<a;②d>b;③d<c;④d>c中有可能成立的个数为(　　)
(A)1　 　(B)2　 　(C)3　　 (D)4
9.(力气挑战题)已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ,点R在直线PQ上,且满足=(+),R在抛物线准线上的射影为S,设α,β是△PQS中的两个锐角,则下列四个式子中不愿定正确的是(　　)
(A)tanαtanβ=1
(B)sinα+sinβ≤
(C)cosα+cosβ>1
(D)|tan(α-β)|>tan
10.(2021·桂林模拟)圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为(　　)
(A)(x-2)2+(y-)2=9
(B)(x-3)2+(y-1)2=()2
(C)(x-1)2+(y-3)2=()2
(D)(x-)2+(y-)2=9
二、填空题
11.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=　　　　
吨.
12.(2021·重庆模拟)已知圆x2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),不等式x+y+m≥0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.
13.凸函数的性质定理为:假如函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有≤f(),已知函数f(x)=sinx在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为　　　　.
14.在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是　　　　.
三、解答题
15.(力气挑战题)已知f(x)在(-1,1)上有定义,f()=1,且满足x,y∈(-1,1)有f(x)-f(y)=f(),对数列{xn}有x1=,xn+1=(n∈N*).
(1)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)求f(xn)的表达式.
(3)是否存在自然数m,使得对于任意n∈N*有++…+<成立?若存在,求出m的最小值.
答案解析
1.【解析】选A.由2<a<3,M=a+=(a-2)++2>2+2=4,
N=lo(x2+)≤lo=4,
所以M>N.
2.【思路点拨】依据指数函数的性质及一元二次不等式的解法进行计算.
【解析】选D.f(g(x))=(3x-2)2-4×(3x-2)+3>0,解得3x>5或3x<3,即x>log35或x<1,又g(x)=3x-2<2,解得x<log34,所以M∩N为(-∞,1).
3.【解析】选A.由于直线平分圆的周长,所以直线过圆心,又圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心坐标为(-1,2),∴a+b=1,ab≤,∴+=≥4.当且仅当a=b=时等号成立.
4.【解析】选B.∵0<α<,∴0<sinα<cosα<1,
∴z<x<y.
5.【解析】选C.设提价前的价格为p,则:
方案(Ⅰ):p(1+m%)(1+n%);
方案(Ⅱ):p(1+n%)(1+m%);
方案(Ⅲ):p[1+()%]2;
方案(Ⅳ):p[1+(m+n)%].比较这四个值,(Ⅰ),(Ⅱ)相同,且[1+()%]2=1+(m+n)%+[()%]2>(1+n%)(1+m%)=1+(m+n)%+m%·n%>1+(m+n)%,故方案(Ⅲ)提价最多.故选C.
6.【解析】选A.∵a=lg2+lg5=lg10=1,
又x<0,∴b=ex<e0=1.
∴a>b.
7.【解析】选B.由已知得{bn}为等差数列,且b4+b6=20,又bn>0,所以b4·b6≤()2=100,当且仅当b4=b6=10时取等号.
8.【解析】选B.正实数a,b,c成公差为正数的等差数列,即a<b<c,又函数f(x)=()x-log2x为减函数,所以f(a)>f(b)>f(c),又f(a)f(b)f(c)<0,
所以当f(a)>f(b)>0,f(c)<0时,又f(d)=0,
所以f(a)>f(b)>f(d),f(c)<f(d),
所以d>a,d>b,d<c,②③成立.
当f(c)<f(b)<f(a)<0时,又f(d)=0,
∴f(c)<f(b)<f(a)<f(d),
此时d<a,d<b,d<c,①③成立,故选B.
9.【解析】选D.由题意∠PSQ=,α+β=,
所以A,tanαtanβ=1,
B,sinα+sinβ≤,
C,cosα+cosβ>1都正确.
10.【解析】选A.R=≥3,当且仅当x=2时取等号,所以半径最小时圆心为(2,),圆的方程为(x-2)2+(y-)2=9.
11.【解析】某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为·4+4x万元, ·4+4x≥160,当=4x,即x=20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.
答案:20
12.【解析】不等式x+y+m≥0恒成立等价于-m≤x+y恒成立,
即-m≤(x+y)min,令t=x+y,由于点P在圆上.
由x=cosα,y=1+sinα可知t=1+sinα+cosα=1+sin(α+).
∴t≤1-.∴-m≤1-.
∴m≥-1.
答案:[-1,+∞)
13.【思路点拨】借助题设供应的信息求解.
【解析】∵f(x)=sinx在区间(0,π)上是凸函数,
且A,B,C∈(0,π),
∴≤f()=f(),
即sinA+sinB+sinC≤3sin=,
所以sinA+sinB+sinC的最大值为.
答案:
14.【解析】设过坐标原点的直线方程为y=kx(k>0),
则由解得交点坐标为(,),(-,-),即为P,Q两点,所以线段PQ长为2≥2=4,当且仅当k=1时等号成立,故线段PQ长的最小值是4.
答案:4
【一题多解】由题意知:P,Q两点关于原点O对称,不妨设P(m,n)为第一象限中的点,则m>0,n>0,n=,所以|PQ|2=4|OP|2=4(m2+n2)=4(m2+)≥16,(当且仅当m2=,即m=时,取等号),故线段PQ长的最小值是4.
答案:4
15.【解析】(1)当x=y=0时,f(0)=0;令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y)即f(y)+f(-y)=0,
∴对任意的x∈(-1,1),f(x)+f(-x)=0,
故f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)∵{xn}满足x1=,xn+1=,
∴0<xn<1.
∵f(xn)-f(-xn)=f[]=f(),f(x)在(-1,1)上为奇函数,
∴f(xn+1)=2f(xn);
由f()=1,x1=,
∴f(x1)=1,从而f(xn)=2n-1.
(3)++…+=1+++…+==2-.假设存在自然数m,使得对于任意n∈N*,有++…+<成立.即2-<恒成立.
∴≥2,解得m≥16.
∴存在自然数m,使得对于任意n∈N*,有++…+<成立.
此时,m的最小值为16.
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