2021高考数学总复习专题系列——向量.板块三.平面向量的数量积.学生版.docx

板块三.平面的数量积

典例分析

题型一：数量积运算
【例1】 已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．

【例2】 已知，，与的夹角为，求；

【例3】 已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．

【例4】 若、、为任意向量，，则下列等式不愿定成立的是（ ）
A． B．
C． D．

【例5】 等边的边长为，则

【例6】 设是单位向量，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．

【例7】 如图，在中，，是边上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．

【例8】 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）

A． B．
C． D．

【例9】 若向量,满足，与的夹角为，则（　　）
A． B． C. D．2

【例10】 直角坐标平面上三点、、，若为线段的三等分点，则 ．

题型二：向量求模
【例11】 已知，，且．
⑴ 求的值；⑵求的值．

【例12】 在中，已知，，，求．

【例13】 已知，，与的夹角为120°，求：
⑴；⑵⑶；⑷

【例14】 已知向量，若与垂直，则 ．

【例15】 已知向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．

【例16】 已知向量，则（ ）
A． B． C． D．

【例17】 已知与的夹角为，那么等于（ ）
A．2 B． C．6 D．12

【例18】 设是边长为1的正三角形, 则= .

【例19】 已知，，和的夹角为，则为 （ ）
A． B． C． D．

【例20】 已知平面对量，．若，则_____________．

【例21】 已知，是非零向量，且，夹角为，则向量的模为 ．

【例22】 已知，是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【例23】 在△ABC中，已知 ．
(1)　求AB边的长度；
(2)证明：；
(3) 若,求．

题型三：向量求夹角与向量垂直
【例24】 已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角．

【例25】 ，，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．

【例26】 设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围

【例27】 已知，,假如与的夹角为锐角,则的取值范围 。

【例28】 给出命题：
⑴在平行四边形中，.
⑵在中，若，则是钝角三角形.
⑶，则
以上命题中，正确的命题序号是 ．

【例29】 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．

【例30】 已知，，且，则

【例31】 在中，，，求值．

【例32】 （2006重庆）与向量，的夹角相等，且模长为的向量是（ ）
A． B．或
C． D．或

【例33】 已知，则与垂直的单位向量的坐标为 ；

【例34】 已知，，且与垂直，求与的夹角。

【例35】 若非零向量、满足，证明:

【例36】 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值

【例37】 已知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（ ）
A． B． C． D,

【例38】 已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，则实数的值为
A． B． C． D．

【例39】 在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量，，若,则角A的大小为（ ）
A. B. C. D.

【例40】 已知＝(－1, 3)，＝(2, －1)，若(k＋)⊥(－2)，则k＝ ．

【例41】 内有一点,满足,且.则确定是（ ）
A. 钝角三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形

【例42】 已知点和，试推断能否在轴上找到一点，使？若能，求点的坐标；若不能，说明理由．

【例43】 设，，，点上线段上的一个动点，．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

【例44】 设平面内的向量，，，点是直线上的一个动点，且，求的坐标及的余弦值.

【例45】 设平面上向量与不共线，
（1） 证明向量与垂直
（2） 当两个向量与的模相等，求角．

【例46】 已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )
A. B. C. D.

【例47】 为非零向量，当的长度取最小值时．
　　　　⑴ 求的值；
⑵ 求证：与垂直．

【例48】 己知向量，与的夹角为60°，直线与圆的位置关系是 （ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．随的值而定

【例49】 设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;