2020-2021学年北师大版高中数学必修4:第一章-三角函数-单元同步测试.docx
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阶段性检测卷(一) (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.下列说法中,正确的是( ) A.第一象限的角都是锐角 B.第三象限的角必大于其次象限的角 C.-831°是其次象限角 D.-95°20′,984°40′,264°40′是终边相同的角 解析 对于A项来说,如390°是第一象限角,但它不是锐角; 对于B项来说,-170°是第三象限角,120°是其次象限角,但120°>-170°; 对于C项来说,-831°=-2×360°-111°,由于-111°是第三象限角,所以-831°是第三象限角; 对于D项来说,984°40′=3×360°-95°20′,264°40′=360°-95°20′. 所以角984°40′,264°40′都与-95°20′角的终边相同. 答案 D 2.函数y=2tan的最小正周期是( ) A. B. C. D.π 解析 T=. 答案 B 3.已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( ) A. B. C. D. 解析 sinπ=cosπ,cosπ=sinπ. 答案 D 4.把y=sinx的图像向右平移后,再把各点横坐标伸长到原来的2倍,得到的函数的解析式为( ) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 答案 A 5.函数y=sin在区间的简图是( ) 解析 ∵f=sin=0,故C,D不正确,又f(0)=sin=-sin=-<0. ∴B不正确. 答案 A 6.函数y=的定义域为( ) A. B. C. D. 解析 由得 即2kπ≤x<2kπ+,k∈Z, 所以选A. 答案 A 7.已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是( ) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间上是增函数 C.函数f(x)的图像关于x=0对称 D.函数f(x)是奇函数 解析 f(x)=sin=-sin=-cosx,明显f(x)为偶函数,不是奇函数. 答案 D 8.y=cos在( ) A.[-π,0]上是增加的 B.上是增加的 C.上是增加的 D.上是增加的 解析 y=cos=cos,当2kπ-π≤x-≤2kπ(k∈Z)时,函数是增加的,解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).当k=0时,-≤x≤,∴x∈时,函数是增加的. 答案 B 9.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 解析 a=-sin1,b=cos1,c=-tan1, ∵a<0,c<0,b>0,又sin1<tan1, ∴-sin1>-tan1,故选C. 答案 C 10.已知函数f(x)=sin的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2+y2=k2上,则f(x)的最小正周期是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由题意可知点在圆x2+y2=k2上,所以2+()2=k2,解得k=±2.此时,函数的最小正周期是T==2|k|=4. 答案 D 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.已知角α的终边过点P(-4m,3m),(m≠0),则2sinα+cosα=________. 解析 当m>0时,|OP|=5m,2sinα+cosα=+=;当m<0时,|OP|=-5m,2sinα+cosα=+=-. 答案 或- 12.sin4π+cosπ+tan3π-sinπ+cos5π=________. 解析 sin4π+cosπ+tan3π-sinπ+cos5π =sin0+cos+tanπ-sin+cosπ =0+0+0-1-1=-2. 答案 -2 13.已知半径为2的扇形的面积为4,则这个扇形的圆心角为________. 解析 设这个扇形的弧长为l,则4=×2×l,∴l=4,∴这个扇形的圆心角θ===2. 答案 2 14.若函数f(x)=sinx+mcosx图像的一条对称轴方程为x=,则实数m的值为________. 解析 由题意得f(0)=f,即m=+,得m=. 答案 15.若函数f(x)=2sin,有下列命题:①其最小正周期为π;②其图像由y=2sin3x向左平移个单位得到;③其表达式可写成f(x)=2cos;④在x∈为单调增函数.则其中真命题为________. 解析 由T=,故①正确; 将y=2sin3x的图像向左平移个单位得到y=2sin3=2sin,故②不正确; y=2cos=2cos =2sin=2sin =2sin=2sin,故③正确; 当<x<时,-<3x-π<,故f(x)在上单调递增,故④正确. 答案 ①③④ 三、解答题(本大题共6道题,共75分) 16.(12分)化简: (1)sin420°cos330°+sin(-690°)·cos(-660°); (2)+. 解 (1)sin420°cos330°+sin(-690°)·cos(-660°)=sin60°cos30°+sin30°cos60°=1. (2)原式=+ =-sinα+sinα =0. 17.(12分)已知扇形的圆心角θ=,它所对的弦长为2,求扇形的弧长和面积. 解 ∵扇形的圆心角θ=(如图),∴△AOB为等边三角形,∴R=AB=2,∴扇形的弧长l=Rθ=2×=π. S扇=Rl=×2×π=π. 18.(12分)如图,点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开头,按逆时针方向以角速度ω rad/s做匀速圆周运动,求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式,并求点P的运动周期和频率. 解 当质点P从位置P0开头转动t s时,点P转过的角度为ωt.设此时点P所在的位置为P′,则∠P′Ox=ωt+φ.由任意角的三角函数得点P的纵坐标为y=rsin(ωt+φ),此即为所求的函数关系式. 点P的运动周期为T=,频率为f==. 19.(13分)如图所示,是函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的一段图像. (1)求此函数解析式; (2)分析该函数是如何通过y=sinx变换得来的? 解 (1)由图像知A==, k==-1, T=2×=π, ∴ω==2. ∴y=sin(2x+φ)-1. 当x=时,2×+φ=,∴φ=. ∴所求函数解析式为y=sin-1. (2)把y=sinx向左平移个单位,得到y=sin,然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的,得到y=sin,再横坐标保持不变,纵坐标变为原来的得到y=sin, 最终把函数y=sin的图像向下平移1个单位,得到y=sin-1的图像. 20.(13分)假如关于x的方程sin2x-(2+a)sinx+2a=0在x∈上有两个实数根,求实数a的取值范围. 解 sin2x-(2+a)sinx+2a=0, 即(sinx-2)(sinx-a)=0. ∵sinx-2≠0,∴sinx=a,即求在x∈上sinx=a有两根时a的范围. 由y=sinx,x∈与y=a的图像知≤a<1. 故实数a的取值范围是. 21.(13分)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),f(x)图像的一条对称轴是直线x=, (1) 求φ; (2) 求函数y=f(x)的单调增区间; (3) 画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图像. 解 (1)∵x=是函数y=f(x)的图像的对称轴, ∴sin=±1. ∴+φ=kπ+,(k∈Z),φ=kπ+,(k∈Z). ∵-π<φ<0,∴φ=-. (2)由(1)知φ=-,∴y=sin. 由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z), ∴kπ+≤x≤kπ+,(k∈Z). 即函数y=sin的单调增区间为 ,(k∈Z). (3)由y=sin知, x 0 π y - -1 0 1 0 - 故函数y=f(x)在区间[0,π]上图像是- 配套讲稿:
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