2021高考数学(福建-理)一轮作业：3.1-导数的概念及其运算.docx

§3.1 导数的概念及其运算
一、选择题
1.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝(　　)
A．－1 B．－2
C．1 D．2
解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，
∴f′(1)＝－2.
答案：B
2.设曲线在点（3，2）处的切线与直线垂直，则 ( )
A．2 B． C． D.

答案　B
3．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　)．
A．e2 B．e C. D．ln 2
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，
即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.
答案　B
4．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为(　　)
A．－ B．0 C. D．5
解析 由于f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x＝0处取得极值，即f′(0)＝0，又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为0，选B.
答案 B
5．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 013(x)等于(　　)．
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
解析　∵f0(x)＝sin x，f1(x)＝cos x，
f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，…
∴fn(x)＝fn＋4(x)，故f2 012(x)＝f0(x)＝sin x，
∴f2 013(x)＝f′2 012(x)＝cos x.
答案　C
6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)．
A．－e B．－1 C．1 D．e
解析　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
答案　B
7．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)．
A．26 B．29 C．212 D．215
解析　函数f(x)的开放式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.
答案　C
二、填空题
8．已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝________.
解析　由已知：f′(x)＝f′cos x－sin x.
则f′＝－1，因此f(x)＝－sin x＋cos x，f＝0.
答案　0
9.函数在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是 ___ __.
解析 由于函数在处有极值，则f′(1)＝3+a=0，a=-3.所求切线的斜率为-3，所以切线方程为y＝-3x.
答案 3x+y＝0
10．若过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
解析　y′＝ex，设切点的坐标为(x0，y0)则＝ex0，即＝ex0，∴x0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
答案　(1，e)　e
11．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.
解析　∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，
∴x＝1时，f(1)＝2f(1)－1＋8－8，
∴f(1)＝1，即点(1,1)，在曲线y＝f(x)上．
又∵f′(x)＝－2f′(2－x)－2x＋8，
x＝1时，f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，
∴f′(1)＝2.
答案　2
12．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 012＝________.
解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，
f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
∴f1＋f2＋…＋f2022＝f1＋f2＋f3＋f4＝0.
答案：0
三、解答题
13．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；(2)y＝；
(3)y＝log2(2x2＋3x＋1)．
解析：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)法一：y′＝
＝
＝.
法二：∵y＝＝1＋，
∴y′＝1′＋′，即y′＝.
(3)法一：设y＝log2u，u＝2x2＋3x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝(4x＋3)＝.
法二：y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′
＝·(2x2＋3x＋1)′
＝.
14．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)；
(2)y＝ln(x＋)；
(3)y＝2xsin(2x＋5)．
解析　(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.
(2)y′＝·＝.
(3)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)．
15．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；
(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1<x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，求实数m的取值范围．

解析 (1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，由此解得a＝－2，b＝5；
切线l的方程为：x－y－2＝0.
(2)由(1)得f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x，依题意得：方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相等的根0，x1，x2，故x1，x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0⇒m>－；
又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，特殊地，取x＝x1时，
f(x1)＋g(x1)－mx1<－m成立，即0<－m⇒m<0，由韦达定理知：x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0，故0<x1<x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x－x2≤0，x－x1≥0，x>0，则f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0；
又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，
所以函数在x∈[x1，x2]上的最大值为0，于是当m<0时对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立．综上：m的取值范围是.
16．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解析 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是
解得故f(x)＝x－.
(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为
|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.