2022届-数学一轮(理科)-北师大版-课时作业-第八章-立体几何-6-.docx
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第6讲 立体几何中的向量方法(一) ——证明平行与垂直 基础巩固题组 (建议用时:40分钟) 一、选择题 1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是 ( ) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析 若l∥α,则a·n=0, D中,a·n=1×0+(-1)×3+3×1=0,∴a⊥n. 答案 D 2.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 解析 ∵=λ+μ,∴,,共面.则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内. 答案 D 3.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是 ( ) A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4) 解析 逐一验证法,对于选项A,=(1,4,1), ∴·n=6-12+6=0,∴⊥n, ∴点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内. 答案 A 4. 如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面相互垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE.则M点的坐标为 ( ) A.(1,1,1) B. C. D. 解析 设AC与BD相交于O点,连接OE,由AM∥平面BDE,且AM平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,∴AM∥EO, 又O是正方形ABCD对角线交点, ∴M为线段EF的中点. 在空间坐标系中,E(0,0,1),F(,,1). 由中点坐标公式,知点M的坐标. 答案 C 5. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为 ( ) A.平行 B.异面 C.垂直 D.以上都不对 解析 以D点为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0). ∴=(,2,0)-(0,1,)=(,1,-), =(,2,0)-(2,0,0)=(-,2,0), ∴·=(,1,-)·(-,2,0)=0, 即⊥,∴AM⊥PM. 答案 C 二、填空题 6.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,则x=________. 解析 ∵a·b=x-2+6=0,∴x=-4. 答案 -4 7.设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上,则a=________. 解析 =(-1,-3,2),=(6,-1,4). 依据共面对量定理,设=x+y(x,y∈R), 则(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4) =(-x+6y,-3x-y,2x+4y), ∴解得x=-7,y=4,a=16. 答案 16 8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,假如=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的序号是________. 解析 ∵·=0,·=0, ∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确. 又与不平行, ∴是平面ABCD的法向量,则③正确. 由于=-=(2,3,4),=(-1,2,-1), ∴与不平行,故④错误. 答案 ①②③ 三、解答题 9.(2021·北京房山区一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点. 求证:(1)PB∥平面EFH; (2)PD⊥平面AHF. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. ∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0). (1)∵=(2,0,-2),=(1,0,-1), ∴=2,∴PB∥EH. ∵PB平面EFH,且EH平面EFH, ∴PB∥平面EFH. (2)=(0,2,-2),=(1,0,0),=(0,1,1), ∴·=0×0+2×1+(-2)×1=0, ·=0×1+2×0+(-2)×0=0, ∴PD⊥AF,PD⊥AH, 又∵AF∩AH=A,∴PD⊥平面AHF. 10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论. 解 在棱C1D1上存在点F(为C1D1中点),使B1F∥平面A1BE.证明如下: 设正方体的棱长为1. 如图所示,以,,1为单位正交基底建立空间直角坐标系. 依题意,得B(1,0,0), E,A1(0,0,1), 1=(-1,0,1), =. 设n=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量, 则由n·1=0,n·=0, 得所以x=z,y=z. 取z=2,得n=(2,1,2). 设F是棱C1D1上的点,则F(t,1,1)(0≤t≤1). 又B1(1,0,1),所以=(t-1,1,0). 而B1F平面A1BE, 于是B1F∥平面A1BE⇔·n=0⇔(t-1,1,0)·(2,1,2)=0⇔2(t-1)+1=0⇔t=⇔F为C1D1的中点.这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点),使B1F∥平面A1BE. 力量提升题组 (建议用时:25分钟) 11. 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则 ①A1M∥D1P; ②A1M∥B1Q; ③A1M∥平面DCC1D1; ④A1M∥平面D1PQB1. 以上正确说法的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 =+=+,=+=+,∴∥,所以A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥面DCC1D1,A1M∥面D1PQB1.①③④正确. 答案 C 12. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 解析 分别以C1B1、C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图, ∵A1M=AN=a, ∴M, N, ∴=. 又C1(0,0,0),D1(0,a,0), ∴=(0,a,0), ∴·=0,∴⊥. ∵是平面BB1C1C的法向量, 且MN平面BB1C1C, ∴MN∥平面BB1C1C. 答案 B 13. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,假如B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和的值为________. 解析 以D1A1,D1C1,D1D分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 设CE=x,DF=y, 则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1), ∴=(x-1,0,1),∴=(1,1,y), 由于B1E⊥平面ABF, 所以·=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0⇒x+y=1. 答案 1 14.如图所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点. (1)求证:AC⊥SD. (2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由. (1)证明 连接BD,设AC交BD于O,则AC⊥BD. 由题意知SO⊥平面ABCD. 以O为坐标原点,,,分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系如图. 设底面边长为a,则高SO=a, 于是S, D,B,C, =,=, 则·=0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD. (2)解 棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下: 由已知条件知是平面PAC的一个法向量, 且=,=, =. 设=t,则=+=+t =, 由·=0⇔t=. 即当SE∶EC=2∶1时,⊥. 又BE不在平面PAC内,故BE∥平面PAC.- 配套讲稿:
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