2020-2021学年人教A版高中数学必修2：第三章-直线与方程-单元同步测试.docx

第三章测试
(时间：120分钟　总分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出以下命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④依据直线的倾斜角的概念，直线集合与集合{α|0°≤α<180°}建立了一一对应的关系．正确的命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　仅有①正确，其他均错．
答案　A
2．过点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y等于(　　)
A．1 B．－1
C．5 D．－5
解析　由题意可知＝tan135°＝－1，∴y＝－5.
答案　D
3．与原点距离为，斜率为1的直线方程为(　　)
A．x＋y＋1＝0或x＋y－1＝0
B．x＋y＋＝0或x＋y－＝0
C．x－y＋1＝0或x－y－1＝0
D．x－y＋＝0或x＋y－＝0
解析　可设直线方程为y＝x＋b，则＝，∴|b|＝1，b＝±1，故直线方程为x－y＋1＝0或x－y－1＝0.
答案　C
4．假如点(5，a)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则整数a的值为(　　)
A．5 B．4
C．－5 D．－4
解析　由题意可知(5，a)到两平行线间距离之和等于两平行线间的距离，∴＋＝，即|31－8a|＋|40－8a|＝9，把选项代入，知a＝4，(a＝5舍去)．
答案　B
5．过点(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是(　　)
A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
解析　解法1：验证知D为所求．
解法2：当直线过原点时，设y＝kx，代入点(5,2)求得k＝，
∴y＝x，即2x－5y＝0；
当直线不过原点时，可设方程为＋＝1，代入点(5,2)求得a＝.∴方程为x＋2y－9＝0.
故所求方程为x＋2y－9＝0，或2x－5y＝0.
答案　D
6．直线2x－y＋k＝0与4x－2y＋1＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．不平行
C．平行或重合 D．既不平行又不重合
解析　由于2x－y＋k＝0与4x－2y＋1＝0可变形为y＝2x＋k和y＝2x＋，所以当k＝时，两直线重合；当k≠时，两直线平行．故应选C.
答案　C
7．方程ax＋by＋c＝0表示倾斜角为锐角的直线，则必有(　　)
A．ab>1 B．ab<0
C．a>0且b<0 D．a>0或b<0
解析　由题意知直线的斜率存在，且k＝－>0，∴ab<0.
答案　B
8．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在斜率为k的直线上，若|AB|＝a，则|y2－y1|等于(　　)
A．|ak| B．a
C. D.
解析　设AB的方程为y＝kx＋b，则a＝|AB|＝＝ |y2－y1|，
∴|y2－y1|＝.
答案　D
9．如图，在同始终角坐标系中表示直线y＝ax与y＝x＋a，正确的是(　　)

解析　当a>0时，由y＝ax可知，C、D错误；又由y＝x＋a又知A、B也不正确．当a<0时，由y＝ax可知A、B错误；又由y＝x＋a可知D也不正确．
答案　C
10．已知直线l：xsinθ＋ycosθ＝1，点(1，cosθ)到l的距离为，且0≤θ≤，则θ等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　由点到直线的距离公式，可得
＝，即|sinθ－sin2θ|＝，阅历证知θ＝满足题意．
答案　B
11．一条线段的长是5，它的一个端点A(2,1)，另一端点B的横坐标是－1，则B的纵坐标是(　　)
A．－3 B．5
C．－3或5 D．－5或3
解析　设点B的坐标为(－1，y)，由题意得(－1－2)2＋(y－1)2＝52，∴(y－1)2＝16.解得y＝5或－3.
答案　C
12．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，下面四个结论正确的个数是(　　)
①AB∥CD；②AB⊥AD；③|AC|＝|BD|；④AC⊥BD.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析　①kAB＝＝－，kCD＝＝－，
∴AB∥CD.
②kAB＝－，kAD＝＝，
∵kAB·kAD＝－1，∴AB⊥AD.
③|AC|＝＝，|BD|＝＝.
∴|AC|＝|BD|.
④kAC＝＝，kBD＝＝－4，
∵kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD.
综上知，①、②、③、④均正确．故选D.
答案　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知A(a,3)，B(3,3a＋3)两点间的距离是5，则a的值为________．
解析　＝5，
即(3－a)2＋9a2＝25，解得a＝－1或.
答案　－1或
14．两条平行直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，各自绕A，B旋转．若这两条平行线距离取最大时，两直线方程是________．
解析　依据题意，当这两条直线平行旋转到与直线AB垂直时，距离取得最大值．
∵kAB＝，
∴两直线分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
答案　3x＋y－20＝0,3x＋y＋10＝0
15．已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，与两坐标轴围成的三角形面积为8，则直线l1的方程为________．
解析　∵l1与l2平行，故可设l1的方程为x－3y＋m＝0.与两坐标轴的交点(0，)，(－m,0)．
由题意可得|－m×|＝8.
∴m＝4，或m＝－4.
答案　x－3y±4＝0
16．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P坐标是________．
解析　∵点P在直线x＋3y＝0上，可设P的坐标为(－3a，a)．
依题意可得＝，化简得10a2＝，∴a＝±.
故P的坐标为，或.
答案　，或
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角为60°.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
解　(1)依题意得斜率k＝tan60°＝.
又经过点(0，－2)，故直线l的方程为y＋2＝(x－0)，即x－y－2＝0.
(2)由(1)知，直线l：x－y－2＝0在x轴、y轴上的截距分别为和－2，故直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝××2＝.
18．(12分)直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
解　(1)当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y＝kx，由点到直线的距离公式，可得
3＝，解k＝－6±.故所求直线的方程为y＝(－6±)x.
(2)当直线不经过坐标原点时，设所求直线为＋＝1，即x＋y－a＝0.由题意可得＝3，解a＝1，或a＝13.故所求直线的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.综上，可知所求直线的方程为y＝x，或x＋y－1＝0，或x＋y－13＝0.
19．(12分)当m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.
(1)倾斜角为；
(2)在x轴上的截距为1.
解　(1)倾斜角为，则斜率为1.
∴－＝1.
解得m＝1，或m＝－1.
当m＝1时，m2－m＝0，不符合题意．
当m＝－1时，直线方程为2x－2y－5＝0符合题意，
∴m＝－1.
(2)当y＝0时，x＝＝1，
解得m＝－，或m＝2.
当m＝－，或m＝2时都符合题意，
∴m＝－，或m＝2.
20．(12分)求经过直线l1：3x＋4y＋5＝0与l2：2x－3y－8＝0的交点M，且满足下列条件的直线方程．
(1)经过原点；
(2)与直线2x＋y＋5＝0平行；
(3)与直线2x＋y＋5＝0垂直．
解　由
得交点M的坐标为(1，－2)．
(1)直线过原点，可得直线方程为2x＋y＝0.
(2)直线与2x＋y＋5＝0平行，可设为2x＋y＋m＝0，代入M(1，－2)，得m＝0.
∴直线方程为2x＋y＝0.
(3)直线与2x＋y＋5＝0垂直，
∴斜率为k＝，又过点M(1，－2)．
故所求方程为y＋2＝(x－1)．
即x－2y－5＝0.
21．(12分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分别满足下列条件的a和b的值．
(1)求直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
解　(1)∵l1⊥l2，
∴(a－1)a＋(－b)×1＝0.
即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2，且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，即b≠0.
∴＝1－a.∴b＝(a≠1)．
故l1、l2的方程分别可以表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0.
∵原点到l1和l2的距离相等．
∴4||＝||，
解得a＝2，或a＝，
因此或
22．(12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在的直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．
解　设直角顶点为C，C到直线y＝3x的距离为d.
则·d·2d＝10，∴d＝.
又l的斜率为，∴l的方程为y＋2＝(x－4)．
即x－2y－8＝0.
设l′是与直线y＝3x平行且距离为的直线，
则l′与l的交点就是C点，
设l′的方程是3x－y＋m＝0，
则＝，
∴m＝±10，∴l′的方程是3x－y±10＝0，
由方程组及
得C点坐标是，或.