2020-2021学年北师大版高中数学必修4：第三章-三角恒等变形-单元同步测试.docx

阶段性检测卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共有10个小题，每小题5分，共50分)
1．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　原式＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin30°＝.
答案　D
2．已知tan(＋α)＝－3，则sinα·cosα的值为(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析　tan(＋α)＝－3，∴＝－3，
即＝－3，＝9，∴sinαcosα＝.
答案　A
3．y＝(sinx－cosx)2－1是(　　)
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数
解析　y＝－2sinxcosx＝－sin2x.
答案　D
4．已知锐角α满cos2α＝cos，则sin2α等于(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　∵α∈，∴2α∈(0，π)，－α∈.
又cos2α＝cos，
∴2α＝－α或2α＋－α＝0.
∴α＝或α＝－(舍)．
∴sin2α＝sin＝，故选A.
答案　A
5．若sinα·cosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值是(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　∵<α<，
∴cosα－sinα＝－＝－.
答案　B
6．求值等于(　　)
A．1 B．2
C. D.
解析　原式＝＝＝＝.
答案　C
7．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)，若a∥b，则的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　由a∥b知，2sinθ＝cosθ－2sinθ，得tanθ＝，∴＝＝＝－.
答案　B
8．已知cos(α－β)＝，sinβ＝－，且α∈，β∈，则sinα＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)．
∴sin(α－β)＝，cosβ＝.
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝.
答案　A
9．使函数y＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在[0，]上为减函数的θ的一个值为(　　)
A.π B.π
C.π D.
解析　y＝2sin(2x＋θ＋)，逐个检验．
答案　C
10．设a＝tan15°＋tan30°＋tan15°·tan30°，b＝2cos210°－sin70°，c＝16cos20°·cos40°·cos60·cos80°，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＝b＝c B．a≠b，b＝c
C．a＝b，b≠c D．a＜b＜c
解析　∵α∈，β∈，
∴α－β∈(0，π)．
∴sin(α－β)＝，cosβ＝.
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝.
答案　A
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知tanα＝，tanβ＝，且0＜α＜，π＜β＜，则α＋β＝__________.
解析：tan(α＋β)＝＝＝1，
∵0＜α＜，π＜β＜π，∴π＜α＋β＜2π.
∴α＋β＝π.
答案：π
12．已知f(x)＝2tanx－，则f()＝________.
解析　f(x)＝2tanx＋＝2＝，∴f＝＝8.
答案　8
13．设△ABC的三个内角A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则角C＝________.
解析　m·n＝sinAcosB＋sinBcosA
＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)．
又∠A，∠B，∠C为△ABC的内角，
∴∠A＋∠B＋∠C＝π.
故sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，
∴原式可化为sinC＋cosC＝1，
即sin＝，
＜∠C＋＜π，
∴∠C＋＝π.
∴∠C＝π.
答案　π
14.－的值为________．
解析　原式＝
＝
＝4＝4.
答案　4
15．关于函数f(x)＝cos(2x－)＋cos(2x＋)，有下列说法：
①f(x)的最大值为；
②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)在区间[，π]上单调递减；
④将函数y＝cos2x的图像向左平移个单位后，将与已知函数的图像重合．
其中正确说法的序号是________．
解析　f(x)＝cos＋cos
＝cos－sin
＝cos
故①②正确，又将y＝cos2x图像向左平移个单位得到的是y＝cos的图像，故④不正确．又当≤x≤π时，0≤2x－≤π，∴函数f(x)在上单调递减，故③正确．
答案　①②③
三、解答题(本大题共6道题，共75分)
16．(12分)已知tan＝，求的值．
解　∵tan＝，tanα＝＝＝，
∴＝
＝
＝
＝
＝
＝＝.
17．(12分)已知α，β都为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．
解　由于α是锐角，所以sinα＝＝.
所以0<α<，又0<β<，所以－<α－β<.
又tan(α－β)＝－，所以－<α－β<0.
由＝tan(α－β)＝－，
且sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，
得sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝，
从而cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×－×＝.
18．(12分)求证：＝.
证明　∵左边＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝右边．
∴等式成立．
19．(13分)已知函数f(x)＝sin＋cos　x∈R，
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证[f(β)]2－2＝0.
解　(1)∵f(x)＝sin＋cos－
＝sin＋sin＝2sin，
∴T＝2π，f(x)min＝－2.
(2)证明：由已知cosαcosβ＋sinαsinβ＝，cosαcosβ－sinαsinβ＝－.
两式相加2cosαcosβ＝0.
∵0＜α＜β≤，∴β＝.
∴[f(β)]2－2＝42－2＝0.
20．(13分)如图，在一块半径为R的半圆形的铁板中截取一个内接矩形ABCD，使其一边CD落在圆的直径上，问应当怎样截取，才可以使矩形ABCD的面积最大？并求出这个矩形的面积．

解　如图所示，设∠AOD＝θ，则OD＝OAcosθ＝Rcosθ，AD＝OAsinθ＝Rsinθ，

∴矩形ABCD的面积为
S矩形ABCD＝CD·AD＝2OD·AD＝2Rcosθ·Rsinθ
＝R2sin2θ≤R2，
其中等号成立的条件是sin2θ＝1，即2θ＝90°，于是θ＝45°，此时这个矩形的长度为2：1，C，D距O的距离为R时，(S矩形ABCD)max＝R2.
21．(13分)已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x，
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)求函数f(x)的零点的集合．
解　(1)由于f(x)＝sin2x－(1－cos2x)
＝2sin－1.
所以，当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值1.
(2)解法一：由(1)及f(x)＝0，得sin＝，所以2x＋＝2kπ＋，或2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ，或x＝kπ＋(k∈Z)．
故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ，或x＝kπ＋，k∈Z}．
解法二：由f(x)＝0，得2sinxcosx＝2sin2x，
于是sinx＝0，或cosx＝sinx，
由sinx＝0可知x＝kπ；由cosx＝sinx，即tanx＝可知x＝kπ＋，k∈Z，
故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ，或x＝kπ＋，k∈Z}．