2020-2021学年高中数学新课标人教A版选修1-1双基限时练7(第二章).docx

双基限时练(七)
1．椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的关系为(　　)
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
答案　D
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若＝2，则椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
3．直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同交点，则a的取值范围是(　　)
A．(－，) B．(－3,3)
C．(－2,2) D．(－4,4)
答案　C
4．已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则(　　)
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3,2)在椭圆上
D．无法判定(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)在椭圆上
解析　由椭圆的对称性知，点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)都在椭圆上．
答案　C
5．椭圆＋＝1和＋＝k(k>0，a>0，b>0)具有(　　)
A．相同的顶点 B．相同的离心率
C．相同的焦点 D．相同的长轴和短轴
解析　不妨设a>b，则椭圆＋＝1的离心率e1＝＝.
而椭圆＋＝k的离心率e2＝＝，∴e1＝e2.
答案　B
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析　由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3，故椭圆G的方程为＋＝1.
答案　＋＝1
7．在一椭圆中以焦点F1，F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e等于________．
解析　由题可知b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，a＝c.
∴e＝＝.
答案　
8．过椭圆＋＝1的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析　右焦点的坐标为(3,0)，当x＝3时，代入椭圆方程得＋＝1，∴y2＝，∴|y|＝.
故|AB|＝2|y|＝.
答案　
9．已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BF⊥BA，则称其为“美丽 椭圆”，那么“美丽 椭圆”的离心率为________．
解析　由题意知|BF|＝a，|AF|＝a＋c，|AB|＝，
∵BF⊥BA，∴|BF|2＋|BA|2＝|AF|2，
即a2＋a2＋b2＝(a＋c)2.化简得a2－ac－c2＝0，
∴e2＋e－1＝0.解得e＝.
∵0<e<1，∴e＝.
答案　
10．椭圆过(3,0)点，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
解　当椭圆焦点在x轴上时，则
a＝3，＝，∴c＝
∴b2＝a2－c2＝3
故椭圆的方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
则b＝3，又＝，
∴＝，∴a2＝27.
故椭圆的方程为＋＝1，
∴所求椭圆的方程为＋＝1，或＋＝1.
11．如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．

解　设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.
则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，则△MF1F2为直角三角形．
∴|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝ ＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，所以＝.
∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，假如F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.
解　由A (－a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝，故AB所在的直线方程为y－b＝x，即bx－ay＋ab＝0.
又F1(－c,0)，
由点到直线的距离公式可得d＝＝，
∴(a－c)＝.
又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，
即82－14＋5＝0，
∴8e2－14e＋5＝0，
∴e＝或e＝(舍去)．
综上可知，椭圆的离心率e＝.