东北师大附中高三数学第一轮复习导学案:几何证明选讲A.docx
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1、几何证明选讲(选修系列)A一、学问梳理(一)、相像三角形的判定及有关性质1平行线等分线段定理及其推论(1)定理:假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。(2)推论:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。2平行线分线段成比例定理及推论(1)定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。(2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。如图,若,则有:注:把推论中的题设和结论交换之后,命题照旧成立。3相像三角形的判定及性质(1)相像三角形的定义对应角相等,对应边
2、成比例的两个三角形叫做相像三角形,相像三角形对应边的比值叫做相像比(或相像系数)。(2)相像三角形的判定预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相像。如图,若EF/BC,则AEFABC。判定定理1:两角对应相等,两三角形相像。判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像。判定定理3:三边对应成比例,两三角形相像。注:依据判定定理2,对于两等腰三角形,只需再添加一顶角或底角对应相等就可以了。若两等腰三角形的一底角相等,则另一底角必定相等,由判定定理1即可判定其相像;若顶角对应相等,则它们的两底角也对应相等,由判定定理1即可判定;若一等腰三角
3、形的顶角与另一等腰三角形的一底角对应相等,它们不愿定相像。(3)直角三角形相像的判定:上述全部的任意三角形相像的判定皆适用于直角三角形。定理1:假如两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相像。定理2:假如两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相像。定理3:假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像。(4)相像三角形的性质相像三角形的性质(一)()相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比。()相像三角形周长的比等于相像比。()相像三角形面积的比等于相像比的平方。相像三角形的性质(二)()相像三角形外
4、接圆的直径比、周长比等于相像比。()相像三角形外接圆的面积比等于相像比的平方。4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。如图,在RtABC中,CD是斜边AB上的高,则有CD2=ADBD,AC2=ADAB,BC2=BDAB。(二)、直线与圆的位置关系1圆周角定理(1)圆周角定理及其推论定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论()推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。()推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦是直径。(2)圆心有定理:
5、圆心角的度数等于它所对弧的度数。2圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理定理1:圆内接四边形的对角互补。定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。(2)圆内接四边形的判定定理及推论判定定理:假如一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。推论:假如四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。3圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理及推论(1)定理:圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论:推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。4弦切角的性质弦切角定理:弦切角等于它所平的弧所对的圆周角。5与圆
6、有关的比例线段圆中的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PAPB=PCPD(2)ACPBDP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理PAB、PCD是的割线PAPB=PCPD(2)PACPDB(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD(2)应用相像求AC、B切割线定理PA切于A,PBC是的割线(1)PA2=PBPC(2)PABPCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切线长定理PA、PB是的切线(1)PA=PB(2)OPA=OPB(1)证线段相等,已知PA求PB(2)求角二、题型探究题型探究一:相像三
7、角形的判定及有关性质(一)平行线(等)分线段成比例定理的应用例1:如图,F为平行四边形ABCD边AB上一点,连DF交AC于G,延长DF交CB的延长线于E。求证:DGDE=DFEG思路解析:由于条件中有平行线,考虑平行线(等)分线段定理及推论,利用相等线段(平行四边形对边相等),经中间比代换,证明线段成比例,得出等积式。解答:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ABDC,AD=BC,ADBC,又ABDC,即DGDE=DFEG。题型探究二:相像三角形判定定理的应用例2:如图,BD、CE是ABC的高,求证:ADEABC。解答:题型探究三:相像三角形性质定理的应用例3:ABC是一块锐角三角形余料,边
8、BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,求这个正方形的边长。思路解析:利用相像三角形的性质定理找到所求正方形边长与已知条件的关系即可解得。解答:设正方形PQMN为加工成的正方形零件,边QM在BC上,顶点P、N分别在AB、AC上,ABC的高AD与边PN相交于点E,设正方形的边长为xcm,PNBC,APNABC。解得x=4.8(cm).答:加工成的正方形零件的边长为4.8cm。题型探究四:直角三角形射影定理的应用例4:如图,在RtABC中,BAC=900,ADBC于D,DFAC于F,DEAB于E,求证:AD3=BCBECF。思
9、路解析:题目中有直角三角形和斜边上的高符合直角三角形射影定理的两个条件,选择合适的直角三角形是解决问题的关键。解答:ADBC,ADB=ADC=900,在RtADB中,DEAB,由射影定理得BD2=BEAB,同理CD2=CFAC,BD2CD2= BEABCFAC 又在RtABC中,ADBC,AD2=BDDC 由得AD4= BD2CD2 =BEABCFAC= BEABADBCAD3=BCBECF题型探究五:圆周角定理的应用例5:如图,已知是ABC的外接圆,CD是AB边上的高,AE是的直径。求证:ACBC=AECD。解答:连接EC,B=E。AE是的直径,ACE=900。CD是AB边上的高,CDB=9
10、00。在AEC与CBD中,E=B,ACE=CDB,AECCBD。,即ACBC=AECD。题型探究六:圆内接四边形及判定定理的应用例6:如图,已知AP是的切线,P为切点,AC是的割线,与交于B,C两点,圆心在PAC的内部,点M是BC的中点。(1)证明:A,P,M四点共圆;(2)求OAM+APM的大小。思路解析:要证A、P、M四点共圆,可考虑四边形APOM的对角互补;依据四点共圆,同弧所对的圆周角相等,进行等量代换,进而求出OAM+APM的大小。解答:(1)连接OP,OM,由于AP与相切于点P,所以OPAP,由于M是的弦BC的中点,所以OMBC,于是OPA+OMA=1800。由圆心在PAC的内部,
11、可知四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆。(2)由(1)得A,P,M四点共圆,所以OAM=OPM,由(1)得OPAP,由圆心在PAC的内部,可知OPM+APM=900,所以OPM+APM=900。题型探究七:圆的切线的性质及判定的应用例7:已知AB是的直径,BC是的切线,切点为B,OC平行于弦AD(如图)。求证:DC是的切线。解答:连接OD。OA=OD,1=2,ADOC,1=3,2=4,3=4。又OB=OD,OC=OC,OBCODC,OBC=ODC。BC是的切线,OBC=900,ODC=900,DC是的切线。题型探究八:与圆有关的比例线段例8:如图所示,已知与相交于A、B两点,
12、过点A作的切线交于点C,过点B作两圆的割线,分别交、于点D、E,DE与AC相交于点P。(1)求证:ADEC;(2)若AD是的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长。解答:(1)连接AB,AC是的切线,BAC=D。又BAC=E,D=E,ADEC。(2)设BP=x,PE=y.PA=6,PC=2,由相交弦定理得PAPC=BPPE,xy=12 ADEC, 由可得,DE=9+x+y=16.AD是的切线,DE是的割线,AD2=DBDE=916,AD=12。三、方法提升1、学问重点是平行线等分线段定理、平行截割定理及其推论,是争辩相像形最重要和最基本的理论,它一方面可以直接推断线段成比例,另一方面
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