2022届高考数学大一轮总复习(北师大版理科)配套题库:第6章-第2讲-等差数列及其前n项和-.docx
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第2讲 等差数列及其前n项和 一、选择题 1.假如等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( ) A.14 B.21 C.28 D.35 解析 ∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,∴a4=4, ∴a1+a2+…+a7=7a4=28,故选C. 答案 C 2.已知递减的等差数列{an}满足a=a,则数列{an}的前n项和Sn取 最大值时n=( ) A.3 B.4 C.4或5 D.5或6 解析 由已知得a-a=0,即(a1+a9)·(a1-a9)=0, 又∵a1>a9,∴a1+a9=0, 又∵a1+a9=2a5,∴a5=0, ∴数列前4项为正值,从第6项起为负值, ∴S4=S5且为最大.选C. 答案 C 3.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( ). A.-1 B.1 C.3 D.7 解析 两式相减,可得3d=-6,d=-2.由已知可得3a3=105,a3=35,所以a20=a3+17d=35+17×(-2)=1. 答案 B 4.在等差数列{an}中,S15>0,S16<0,则使an>0成立的n的最大值为 ( ). A.6 B.7 C.8 D.9 解析 依题意得S15==15a8>0,即a8>0;S16==8(a1+a16)=8(a8+a9)<0,即a8+a9<0,a9<-a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8,选C. 答案 C 5.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数的个数是 ( ). A.2 B.3 C.4 D.5 解析 由=得:===,要使为整数,则需=7+为整数,所以n=1,2,3,5,11,共有5个. 答案 D 6.若关于x的方程x2-x+a=0与x2-x+b=0(a≠b)的四个根组成首项为的等差数列,则a+b的值是( ) A. B. C. D. 解析 设四个方程的根分别为x1、x4和x2、x3.由于x1+x4=x2+x3=1,所以x1=,x4=,从而x2=,x3=. 则a=x1x4=,b=x2x3=,或a=,b=,∴a+b=+=. 答案 D 二、填空题 7. 设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________. 解析 设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,由于a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35. 答案 35 8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若-=1,则公差为________. 解析 依题意得S4=4a1+d=4a1+6d,S3=3a1+d=3a1+3d,于是有-=1,由此解得d=6,即公差为6. 答案 6 9.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,则k=________.[来源 解析 ∵a4+a7+a10=3a7,∴a7=,∵a4+…+a14=11a9,∴a9=7,d=,ak-a9=(k-9)d,13-7=(k-9)×,k=18. 答案 18 10.已知{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项ak1,ak2,…,akn恰为等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,则kn=________. 解析 由题意知a1·a17=a,a1(a1+16d)=(a1+4d)2,得a1=2d,=3,∴akn=a13n-1=a1+(kn-1),kn=2·3n-1-1. 答案 2·3n-1-1 三、解答题 11.在等差数列{an}中,已知a2+a7+a12=12,a2·a7·a12=28,求数列{an}的通项公式. 解 由a2+a7+a12=12,得a7=4. 又∵a2·a7·a12=28,∴(a7-5d)(a7+5d)·a7=28, ∴16-25d2=7,∴d2=,∴d=或d=-. 当d=时,an=a7+(n-7)d=4+(n-7)×=n-; 当d=-时,an=a7+(n-7)d=4-(n-7)×=-n+. ∴数列{an}的通项公式为an=n-或an=-n+. 12.在等差数列{an}中,公差d>0,前n项和为Sn,a2·a3=45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=(n∈N*),是否存在一个非零常数c,使数列{bn}也为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由题设,知{an}是等差数列,且公差d>0, 则由得 解得∴an=4n-3(n∈N*). (2)由bn===, ∵c≠0,∴可令c=-,得到bn=2n. ∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*), ∴数列{bn}是公差为2的等差数列. 即存在一个非零常数c=-,使数列{bn}也为等差数列. 13.在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2+an=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Sn是数列{|an|}的前n项和,求Sn. 解 (1)由2an+1=an+2+an可得{an}是等差数列, 且公差d===-2. ∴an=a1+(n-1)d=-2n+10. (2)令an≥0,得n≤5. 即当n≤5时,an≥0,n≥6时,an<0. ∴当n≤5时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+an=-n2+9n; 当n≥6时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an) =-(a1+a2+…+an)+2(a1+a2+…+a5) =-(-n2+9n)+2×(-52+45) =n2-9n+40, ∴Sn= 14.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2). (1)证明数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项; (3)若λan+≥λ对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围. 解 (1)证明:将3anan-1+an-an-1=0(n≥2)整理得-=3(n≥2). 所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列. (2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,所以an=. (3)λan+≥λ对n≥2的整数恒成立, 即+3n+1≥λ对n≥2的整数恒成立. 整理得λ≤, 令cn=, cn+1-cn=- =. 由于n≥2,所以cn+1-cn>0,即数列{cn}为单调递增数列,所以c2最小,c2=.所以λ的取值范围为.- 配套讲稿:
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