【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)阶段性测试题6-(数列).docx
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阶段性测试题六(数 列) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(2022·浙江台州中学期中)公差不为0的等差数列{an}的前21项的和等于前8项的和.若a8+ak=0,则k=( ) A.20 B.21 C.22 D.23 [答案] C [解析] 由条件知S21=S8,∴a9+a10+…+a21=0, ∴a15=0,∵a8+ak=2a15=0,∴k=22. 2.(文)(2022·抚顺市六校联合体期中)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a8=6+a11,则S9的值等于( ) A.54 B.45 C.36 D.27 [答案] A [解析] ∵2a8=a5+a11,2a8=6+a11,∴a5=6, ∴S9=9a5=54. (理)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,a2=1,前6项的方差为,则a3S3的值为( ) A.-9 B.3 C.±9 D.9 [答案] D [解析] ∵数列{an}的前6项为1-d,1,1+d,1+2d,1+3d,1+4d,∴=1+d, 由条件知,S2=[(1-d-)2+(1-)2+(1+d-)2+(1+2d-)2+(1+3d-)2+(1+4d-)2] =d2=,∴d2=4,∴d=±2, ∵a2=1,∴当d=2时,a1=-1,a3=3,S3=3,∴a3S3=9, 当d=-2时,a1=3,a3=-1,S3=3,∴a3S3=9,故选D. 3.(2021·大连市二十中期中)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 [答案] C [解析] 由等比数列的性质知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列, ∴(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15), ∴S6=63. 4.(2021·江西南昌市二中月考)已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0),则数列{an}( ) A.确定是等差数列 B.确定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不行能是等差数列,也不行能是等比数列 [答案] C [解析] 当a=1时数列{an}为等差数列,当a为其他不等于0和1的值时,{an}为等比数列. 5.(文)(2021·江西三县联考)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+,n∈N*,则a101的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52 [答案] D [解析] ∵an+1-an=,∴{an}是等差数列, ∴an=2+(n-1)=(n+3). ∴a101=52. (理)(2021·遵义航天中学二模)在数列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),则该数列的通项公式为( ) A.an= B.an= C.an= D.an= [答案] A [解析] ∵=+,∴数列{}是等差数列, ∵a1=1,a2=,∴=n,∴an=,故选A. 6.(2021·山师大附中月考)设函数f(x)=xm+ax的导函数为f ′(x)=2x+1,则数列{}(n∈N*)的前n项和是( ) A. B. C. D. [答案] A [解析] f ′(x)=mxm-1+a,∴a=1,m=2,∴f(x)=x2+x, ==-,∴Sn=(1-)+(-)+…+(-)=. 7.(文)(2021·成都市树德中学期中)已知等差数列{an}的公差d<0,若a4·a6=24,a2+a8=10,则该数列的前n项和Sn的最大值为( ) A.50 B.40 C.45 D.35 [答案] C [解析] ∵a4+a6=a2+a8=10,a4·a6=24,d<0, ∴ ∴d==-1,∴an=a4+(n-4)d=10-n. ∴当n=9或10时Sn取到最大值,S9=S10=45. (理)(2021·许昌、平顶山、新乡调研)已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=()n2-6n(n∈N*),bn=log2an,则数列{bn}的前n项和Sn中的最大值是( ) A.S6 B.S5 C.S4 D.S3 [答案] D [解析] Sn=b1+b2+…+bn=log2a1+log2a2+…+log2an=log2Tn=log2()n2-6n=-2(n2-6n),∴当n=3时,Sn取最大值. 8.(2021·开封二十二校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-3,ak+1=,Sk=-12,则正整数k=( ) A.10 B.11 C.12 D.13 [答案] D [解析] ∵a1=-3,ak+1=,Sk=-12,Sk+1=Sk+ak+1=-12+=-, 即=-,∴(k+1)(-)=-21, ∴k=13. 9.(2021·江西南昌市月考)已知Sn为数列{an}的前n项和,且满足a1=1,anan+1=3n(n∈N+),则S2022=( ) A.2×31007-2 B.2×31007 C. D. [答案] A [解析] 由anan+1=3n得an-1an=3n-1(n≥2), ∴(n≥2), 则数列{an}的全部奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列, 又a2==3. ∴S2022=+=2×31007-2.故选A. 10.(2021·黄风中学月考)若数列{an}满足-=0,n∈N*,p为非零常数,则称数列{an}为“幻想数列”,已知正项数列{}为“幻想数列”,且b1b2b3…b99=299,则b8+b92的最小值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 [答案] B [解析] 由“幻想数列”的定义知,bn+1-pbn=0,∵p≠0,∴=p,∴{bn}为等比数列,又b1b2…b99=299=b, ∴b50=2. ∴b8+b92≥2=2b50=4,等号成立时,b8=b92,即该数列为常数列时等号成立,故选B. 11.(2021·临川一中、宜春中学,新余四中联考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=a-2an+1(n∈N*),则a2022=( ) A.1 B.0 C.2022 D.-2022 [答案] B [解析] 由an+1=a-2an+1(n∈N*),得an+1=(an-1)2,∵a1=1,∴a2=0,a3=1,a4=0,…,∴数列{an}的全部奇数项为1,偶数项为0.∴ a2022=0.故选B. 12.(2021·深圳市五校联考)已知数列{an}的首项a1=1,且满足对任意的n∈N*,都有an+1-an≤2n,an+2-an≥3×2n成立,则a2022=( ) A.22022-1 B.22022+1 C.22021-1 D.22021+1 [答案] A [解析] ∵an+2-an=an+2-an+1+an+1-an≥3×2n,① 又an+1-an≤2n,∴an+2-an+1≤2n+1, ∴an+1-an+2≥-2n+1,② 由①②得,an+1-an≥2n, 又an+1-an≤2n,∴an+1-an=2n. ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+22+2+1=2n-1, ∴a2022=22022-1. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.) 13.(2021·洛阳市期中)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则a5+a7=________. [答案] 160 [解析] ∵a3+a5=q(a2+a4),∴40=20q,∴q=2, ∴a5+a7=(a3+a5)q2=40×22=160. 14.(2021·江西师大附中期中)若{an}为等差数列,Sn是其前n项和,且S11=,则tana6的值为________. [答案] - [解析] 由于S11=11a6=,a6=,所以tana6=tan=-. 15.(文)(2022·鄂南高中、孝感高中联考)已知数列{an},若点(n,an)(n∈N*)在直线y-3=k(x-6)上,则数列{an}的前11项和S11=________. [答案] 33 [解析] ∵点(n,an)在直线y-3=k(x-6)上, ∴an=3+k(n-6). ∴an+a12-n=[3+k(n-6)]+[3+k(6-n)]=6,n=1,2,3,…,6, ∴S11=a1+a2+…+a11=5(a1+a11)+a6=5×6+3=33. (理)(2021·江西师大附中、鹰潭一中联考)设等差数列{an}前n项和为Sn,若Sm-1=-1,Sm=0,Sm+1=2,则m=________. [答案] 3 [解析] 解法1:∵等差数列{an}前n项和为Sn,满足Sm-1=-1,Sm=0,Sm+1=2, ∴解得m=3. 解法2:am=Sm-Sm-1=1,am+1=Sm+1-Sm=2,d=am+1-am=1, am=a1+(m-1)d=a1+m-1=1,∴a1=2-m, ∴Sm=ma1+d=m(2-m)+=0, ∴m=3. 16.(2021·绍兴一中期中)下图给出了一个“直角三角形数阵”:满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(i≥j,i,j∈N*),则a88=________. , ,, … [答案] [解析] 由条件知第一列为等差数列,∴ai1=+(i-1)·(-)=,由于每一行都成等比数列,且公比相等,∴公比q==, ∴aij=ai1·qj-1=·qj-1=·()j-1, ∴a88=×()7=. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)(文)(2022·三亚市一中月考)等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. [解析] (1)设{an}的公比为q, 由已知得16=2q3,解得q=2. ∴an=2×2n-1=2n. (2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32, 设{bn}的公差为d,则有解得 从而bn=-16+12(n-1)=12n-28. 所以数列{bn}的前n项和Sn==6n2-22n. (理)(2022·北京东城区联考)在公差不为0的等差数列{an}中,a4=10,且a3,a6,a10成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=2an(n∈N*),求数列{bn}的前n项和. [解析] (1)设数列{an}的公差为d,又a4=10, 可得a3=10-d,a6=10+2d,a10=10+6d. 由a3,a6,a10成等比数列得a3a10=a, 即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2, 整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1. 由d≠0,可得d=1. a1=a4-3d=10-3×1=7, 所以an=a1+(n-1)d=n+6. (2)由bn=2an(n∈N*),an=n+6,可得bn=2n+6. 所以b1=21+6=128. 由于==2, 所以数列{bn}是首项为128,公比为2的等比数列. 所以{bn}的前n项和为Sn==2n+7-128. 18.(本小题满分12分)(文)(2021·桂城中学、中山一中摸底)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且a+an=2Sn. (1)求a1; (2)求数列{an}的通项; (3)若bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+…+bn,求证:Tn<. [解析] (1)令n=1,得a+a1=2S1=2a1, ∵a1>0,∴a1=1. (2)∵a+an=2Sn,① ∴a+an+1=2Sn+1,② ②-①得,(an+1+an)(an+1-an-1)=0, ∵an>0,∴an+1+an>0, ∴an+1-an=1, ∴an=1+1×(n-1)=n. ③n=1时b1=1<符合;n≥2时, ∵<==2(-), ∴<1+2(-+…+-)<1+=. ∴Tn=b1+b2+…+bn<. (理)(2021·深圳五校联考)已知数列{an}满足a1=,an=2-(n≥2),Sn是数列{bn}的前n项和,且有=1+bn. (1)证明:数列{}为等差数列; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)设cn=,记数列{cn}的前n项和为Tn,求证:Tn<1. [解析] (1)证明:∵an=(n≥2), ∴an-1=-1=, ∴===+1(n≥2), ∴-=1(n≥2), ∴数列{}是以=2为首项,1为公差的等差数列. (2)当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(2+bn)-(2+bn-1)=bn-bn-1, ∴=bn-1, 即=(n≥2), ∴×××…×=×××…×,∴=n·2n-1, ∵b1=2,∴bn=n·2n(n≥2). 当n=1时,b1=S1=2,∴bn=n·2n. (3)由(1)知:=2+(n-1)×1=n+1, ∴an-1=,∴an=. ∴cn===- , ∴Tn=i=(1-)+(-)+…+(-)=1-<1. 19.(本小题满分12分)(2022·北京朝阳区期中)假如项数均为n(n≥2,n∈N*)的两个数列{an},{bn}满足ak-bk=k(k=1,2,…,n),且集合{a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn}={1,2,3,…,2n},则称数列{an},{bn}是一对“n项相关数列”. (1)设{an},{bn}是一对“4项相关数列”,求a1+a2+a3+a4和b1+b2+b3+b4的值,并写出一对“4项相关数列”{an},{bn}; (2)是否存在“15项相关数列”{an},{bn}?若存在,试写出一对{an},{bn};若不存在,请说明理由; (3)对于确定的n,若存在“n项相关数列”,试证明符合条件的“n项相关数列”有偶数对. [解析] (1)依题意,a1-b1=1,a2-b2=2,a3-b3=3,a4-b4=4,相加得, a1+a2+a3+a4-(b1+b2+b3+b4)=10, 又a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=36, 则a1+a2+a3+a4=23,b1+b2+b3+b4=13. “4项相关数列”{an}:8,4,6,5;{bn}:7,2,3,1(不唯一). (2)不存在. 假设存在“15项相关数列”{an},{bn}, 则a1-b1=1,a2-b2=2,…,a15-b15=15,各式相加得, (a1+a2+…+a15)-(b1+b2+…+b15)=120, 又由已知a1+a2+…+a15+b1+b2+…+b15=1+2+…+30=465, 两式相加得,2(a1+a2+…+a15)=585,明显不行能,所以假设不成立, 从而不存在“15项相关数列”{an},{bn}. (3)对于确定的n,任取一对“n项相关数列”{an},{bn}, 令ck=2n+1-bk,dk=2n+1-ak(k=1,2,…,n), 先证{cn},{dn}也必为“n项相关数列”. 由于ck-dk=(2n+1-bk)-(2n+1-ak)=ak-bk=k(k=1,2,…,n), 又由于{a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn}={1,2,3,4,…,2n},很明显有: {(2n+1)-a1,(2n+1)-a2,…,(2n+1)-an,(2n+1)-b1,(2n+1)-b2,…,(2n+1)-bn|={1,2,3,…,2n}, 所以{cn},{dn}也必为“n项相关数列”. 再证数列{cn}与{an}是不同的数列. 假设{cn}与{an}相同,则{cn}的其次项c2=2n+1-b2=a2, 又a2-b2=2,则2b2=2n-1,即b2=,明显冲突. 从而,符合条件的“n项相关数列”有偶数对. 20.(本小题满分12分)(2022·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)现在市面上有一般型汽车(以汽油为燃料)和电动型汽车两种.某品牌一般型汽车车价为12万元,第一年汽油的消费为6000元,随着汽油价格的不断上升,汽油的消费每年以20%的速度增长.其他费用(保险及修理费用等)第一年为5000元,以后每年递增2000元.而电动汽车由于节能环保,越来越受到社会认可.某品牌电动车在某市上市,车价为25万元,购买时一次性享受国家补贴价6万元和该市市政府补贴价4万元.电动汽车动力不靠燃油,而靠电池.电动车使用的一般锂电池平均使用寿命大约两年(也即两年需更换电池一次),电池价格为1万元,电动汽车的其他费用每年约为5000元. (1)求使用n年,一般型汽车的总耗资费Sn(万元)的表达式(总耗资费=车价+汽油费+其他费用); (2)比较两种汽车各使用10年的总耗资费用. (参考数据:(1.24≈2.1 1.25≈2.5 1.29≈5.2 1.210≈6.2) [解析] (1)依题意,一般型每年的汽油费用为一个首项为0.6万元,公比为1.2的等比数列, ∴使用n年,汽油费用共计 0.6(1+1.2+1.22+…+1.2n-1)= =3(1.2n-1), 其他费用为一个首项为0.5万元,公差为0.2万元的等差数列,故使用n年其他费用共计0.5+(0.5+0.2)+…+[0.5+0.2(n-1)]=0.5n+×0.2=0.1n2+0.4n, ∴Sn=12+3×1.2n-3+0.1n2+0.4n=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9(万元). (2)由(1)知Sn=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9, ∴S10=3×1.210+0.1×102+0.4×10+9≈3×6.2+10+13=41.6(万元), 又设T10为电动型汽车使用10年的总耗资费用, 则T10=25-6-4+×1+0.5×10=25(万元), 41.6-25=16.6(万元), ∴使用10年,一般汽车比电动型汽车多花费16.6万元. 答:(1)使用n年,一般型汽车的总耗资费用Sn=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9, (2)使用10年,一般型汽车比电动型汽车多花费16.6万元. 21.(本小题满分12分)(文)(2021·安徽示范高中联考)数列{an}是公比为的等比数列,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,前n项和为Sn;数列{bn}是等差数列,b1=8,其前n项和Tn满足Tn=nλ·bn+1(λ为常数,且λ≠1). (1)求数列{an}的通项公式及λ的值; (2)比较+++…+与Sn的大小. [解析] (1)由题意得,(1-a2)2=a1(1+a3), ∴(1-a1q)2=a1(1+a1q2), ∵q=,∴a1=,∴an=()n. ∵∴ ∴λ=,d=8,∴bn=8n, ∴Tn=4n(n+1). (2)令Cn=++…+=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-), ∴≤Cn<, ∵Sn==1-()n, ∴Sn=[1-()n],∴≤Sn<, ∴Cn<Sn. (理)(2022·长安一中质检)已知{an}为等比数列,a1=2,a3=18,{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20. (1)求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn; (2)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中n∈N+,试比较Pn与Qn的大小,并加以证明. [解析] (1)设{an}的公比为q,由a3=a1q2得,q2==9,∴q=±3. 当q=-3时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20,这与a1+a2+a3>20冲突. 当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,符合题意. 设{bn}的公差为d,由b1+b2+b3+b4=26得,4b1+d=26, 又b1=2,∴d=3,∴bn=3n-1. ∴Sn==n2+n. (2)∵b1、b4、b7,…,b3n-2组成公差为3d的等差数列, ∴Pn=nb1+·3d=n2-n. ∵b10,b12,b14,b2n+8组成公差为2d的等差数列, ∴Qn=nb10+·2d=3n2+26n, ∴Pn-Qn=n(n-19), 故当n≥20时,Pn>Qn;当n=19时,Pn=Qn;当n≤18时,Pn<Qn. 22.(本小题满分14分)(文)(2021·豫南九校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a(Sn-an+1)(a为常数,且a>0),且a3是6a1与a2的等差中项. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=anlog2an,求数列{bn}的前n项和Tn. [解析] (1)当n=1时,S1=a(S1-a1+1),∴a1=a. 当n≥2时,Sn=a(Sn-an+1)① Sn-1=a(Sn-1-an-1+1)② ①-②得,∴an=a×an-1, 即=a, 故数列{an}是首项为a1=a,公比为a的等比数列, ∴an=a×an-1=an, 故a2=a2,a3=a3, 由a3是6a1与a2的等差中项可得2a3=6a1+a2,即2a3=6a+a2, 由于a>0,所以2a2-a-6=0,即(2a+3)(a-2)=0, 解得a=2或a=-(舍去). ∴a=2. 故an=2n. (2)把an=2n代入bn=anlog2an,得bn=2nlog22n=n·2n, ∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,① ∴2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,② ①-②得 -Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, ∴Tn=-2n+1+2+n·2n+1=(n-1)·2n+1+2. (理)(2021·山东烟台期中)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2Sn+2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}的各项均为正数,且bn是与的等比中项,求bn的前n项和Tn. [解析] (1)当n≥2时,由an+1=2Sn+2得an=2Sn-1+2,两式相减得,an+1-an=2an,∴=3(n≥2). 当n=1时,a2=2S1+2=2a1+2=6, ∴=3,∴an=2×3n-1. (2)由条件知b=·=, ∵bn>0,∴bn=. ∴Tn=b1+b2+…+bn=+++…+, Tn=+++…++, 两式相减得,Tn=+++…+-=(1-)-=-. ∴Tn=-.- 配套讲稿:
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