2020年高中物理课时训练(新人教必修二)7.5《探究弹性势能的表达式》10.docx

第5节 探究弹性势能的表达式备课参考
理解领悟
探究是通过自己的探究活动，变未知为已知的学习过程。探究的目的是开发制造潜能，启发思维，使自己参与到教与学的活动中去。在自己思考的前提下，设计自己的探究方案，这个方案可以包含试验，也可以不包含试验。本节“探究弹性势能的表达式”就是一个不包含试验的探究。
1. 什么是弹性势能？
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。可见，物体具有弹性势能的条件是发生了弹性形变。卷紧的发条、拉长或压缩的弹簧、拉开的弓、正在击球的网球拍、撑杆运动员手中弯曲的杆，等等，都发生了弹性形变，都具有弹性势能。
2. 争辩弹性势能的动身点
弹性势能与重力势能都是物体凭借其位置而具有的能。在争辩重力势能的时候，我们从重力做功的分析入手。同样，在争辩弹性势能的时候，则要从弹力做功的分析入手。弹力做功应是我们争辩弹性势能的动身点。
3. 弹性势能表达式中相关物理量的猜想
弹性势能的表达式可能与哪些物理量有关呢？
① 可能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度有关。这是由于，与重力势能相类比，重力势能与物体被举起（或下降）的高度有关，所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度有关。重力势能与高度成正比，但是弹性势能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度则不肯定成正比，在地球表面四周可认为重力不随高度变化，而弹力在弹簧形变过程中则是变力。
② 可能与弹簧的劲度系数有关。这是由于，不同弹簧的“软硬”程度不同，即劲度系数不同，使弹簧发生相同长度的形变所需做的功也不相同。
4. 弹性势能与拉力做功的关系
当弹簧的长度为原长时，我们设它的弹性势能为0，弹簧被拉长或缩短后就具有了弹性势能。我们争辩弹簧被拉长的状况，那么弹簧的弹性势能应当与拉力所做的功相等。可见，争辩弹性势能的表达式，只需争辩拉力做功的表达式。
5. 如何计算拉力所做的功？
在拉伸弹簧的过程中，拉力是随弹簧的形变量的变化而变化的，拉力还因弹簧的不同而不同。因此，拉力做功不能直接用功的公式W=Flcosα。那么，如何求出拉力的功呢？与争辩匀变速直线运动的位移方法类似，就是将弹簧的形变过程分成很多小段，每一小段中近似认为拉力是不变的。所以，每一小段的功分别为
 W1=F1△l1，W2=F2△l2，W3=F3△l3，……
拉力在整个过程中所做的功为
 W=W1+W2+W3+……=F1△l1+ F2△l2+ F3△l3+……
图1
O
F
l
6. 如何计算求和式？
要直接计算上述各小段功的求和式是较困难的。与匀变速直线运动中利用v— t图象求位移x相像，我们可以画出F— l，如图1所示。每段拉力的功就可用图中细窄的矩形面积表示，对这些矩形面积求和，就得到了由F和 l围成的三角形的面积，这块三角形面积就表示拉力在整个过程中所做的功。
7. 弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做功与弹性势能变化的关系，跟重力做功与重力势能变化的关系及其相像。重力做正功，重力势能削减；重力做负功（物体克服重力做功），重力势能增加。同样，弹力做正功，弹性势能削减；弹力做负功（物体克服弹力做功），弹性势能增加。
8. 弹性势能也具有相对性
在本节的“说一说”栏目中，提出了“能不能规定弹簧某一任意长度时的势能为0势能”的问题。这个问题可与重力势能参考平面的选取相比较。假如我们规定了弹簧某一任意长度时的势能为0势能，在弹簧从0势能位置拉至某一位置的过程中，拉力所做的功就等于弹簧处于该位置的弹性势能。明显，这与规定自然长度为0势能时，从从0势能位置拉至该位置的功是不同的。所以，弹簧在某一位置时的弹性势能是与0势能位置的规定有关的，弹性势能也具有相对性。
典型例题解析
本节课的应用主要涉及对弹性势能概念的理解，以及对弹性势能表达式探究过程的分析和争辩方法的迁移。作为“进展级”的应用，也涉及弹性势能表达式的计算。
例1 关于弹性势能，下列说法中正确的是（ ）
A. 任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B. 任何具有弹性势能的物体，肯定发生了弹性形变
C. 物体只要发生形变，就肯定具有弹性势能
D. 弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
提示 由弹性势能的定义和相关因素进行推断。
解析 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫做弹性势能。所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体肯定发生了弹性形变。物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能。弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧劲度系数的大小有关。正确选项为A、B。
点悟 发生形变的物体不肯定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能。对此，必需有糊涂的生疏。
例2 在本节课的探究活动中，我们多次接受了类比的争辩方法，试举例说明。
提示 认真阅读课本，再给出解答。
解析 在本节课的探究活动中，接受类比争辩方法的地方主要有：
① 争辩弹性势能的动身点，将重力势能与弹性势能类比。争辩重力势能从分析重力做功入手，争辩弹性势能则从分析弹力做功入手。
② 弹性势能表达式中相关物理量的猜想，将重力势能与弹性势能、重力与弹力类比。重力势能与物体被举起的高度有关，所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸的长度有关。弹力与重力的变化规律不一样，弹性势能与重力势能的表达式很可能也不一样。
③ 计算拉力所做的功，与计算匀变速直线运动的位移类比。计算匀变速直线运动的位移时，将位移分成很多小段，每一小段的速度可近似认为相等，物体在整个过程中的位移等于各小段位移之和。计算拉力所做的功，可将弹簧的形变过程分成很多小段，每一小段的拉力可近似认为是不变的，拉力在整个过程中的功等于各小段功之和。
④ 计算各小段功的求和式，将由v— t图象求位移与由F—l图象求功类比。v— t图象下的相关面积表示位移，F—l图象下的相关面积则表示功。
点悟 类比，就是将同类型的事物或问题进行对比，从中找出规律性的东西。类比的方法，是物理学中一种重要的争辩方法。
例3 教材中说：“在探究弹性势能的表达式时，可以参考对重力势能的争辩。”当物体处于参考平面时，重力势能为0；在参考平面上方，重力势能为正；在参考平面下方，重力势能为负。当弹簧的长度为原长时，弹簧的弹性势能为0；弹簧拉伸时，弹性势能为正；那么，弹簧压缩时弹性势能也为负值吗？为什么？
提示 留意弹力做功与重力做功的差异。
解析 弹力做功与重力做功有所不同。当物体从参考平面对下运动时，重力做正功，重力势能削减。所以，在参考平面下方，重力势能为负。若规定弹簧的长度为原长时，弹簧的弹性势能为0，当弹簧压缩时弹力并不是做正功而是做负功，弹性势能并不是削减而是增加。所以，弹簧压缩时弹性势能不是负值而是正值。
点悟 类比是一种常用的科学争辩方法。但是，类比不是机械地等同。在运用类比方法时，既要留意相关事物或问题间的共同点，也要留意它们的差异，留意争辩事物或问题本身的特点。
例4 弹簧原长为l0，劲度系数为k。用力把它拉到伸长量为l，拉力所做的功为W1；连续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l，拉力在连续拉伸的过程中所做的功为W2。试求W1与W2的比值。
B
F
O
l
l
2l
A
图2
 提示 利用F—l图象分析。
解析 拉力F与弹簧的伸长量l成正比，故在F—l图象中是一条倾斜直线，如图2所示，直线下的相关面积表示功的大小。其中，线段OA下的三角形面积表示第一个过程中拉力所做的功W1，线段AB下的梯形面积表示其次个过程中拉力所做的功W2。明显，两块面积之比为1︰3，即W1︰W2=1︰3。
点悟 上述解法接受了教材探究弹性势能表达式的争辩方法，即应用F—l图象直观地进行分析。若记得弹性势能的表达式，也可由弹性势能的表达式进行计算。由于拉力做功增加了弹簧的弹性势能，故有
 ，。
所以，W1与W2的比值  W1︰W2=︰=1︰3。
例5 如图3所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水平面上。现用外力缓慢拉动物块，若外力所做的功为W，则物块移动了多大的距离？
提示 外力所做的功等于弹簧弹性势能的增加。
解析 若以Ep表示弹簧最终的弹性势能，则外力所做的功
 。
所以，弹簧的伸长量亦即物块移动的距离。
图3
k
F
m
点悟 教材附注指出：“学习这节时，要着重体会探究的过程和所用的方法，不要求把握探究的结论，更不要求用弹性势能的表达式解题。”这里涉及弹性势能表达式的应用问题，只是作为“进展级”要求提出的，仅供学有余力的同学参考。
例6 如图3所示，质量为m物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为k。现用手拉住弹簧上端，使弹簧上端缓慢提上升度h，此时物体已经离开地面，求拉力所做的功。
提示 从拉力做功的效果动身进行分析。
解析 拉力做功，增加了物体的重力势能和弹簧的弹性势能。
物体离开地面后，弹簧的伸长量为
  。
可见，物体上升的高度为  。
从而，物体重力势能的增加量为
 。
弹簧的弹性势能为
 。
所以，拉力所做的功为
 。
点悟 在上提的整个过程中，拉力F是个变力，因此求拉力的功不能直接用功的公式W=Flcosα进行计算。本题的求解供应了计算变力功的另一种思路，即从做功的效果动身进行分析，或者说从功与能的关系动身进行分析。

巩固练习
1. 关于弹性势能，以下说法中正确的是（ ）
A. 发生弹性形变的物体肯定具有弹性势能
B. 发生弹性形变的物体不肯定具有弹性势能
C. 发生形变的物体肯定具有弹性势能
D. 发生形变的物体不肯定具有弹性势能
2. 争辩弹性势能，要从下述问题的分析入手的是（ ）
A. 重力做功 B. 弹力做功 C. 弹簧的劲度系数 D. 弹簧的形变量
3. 弹簧的一端固定，原处于自然长度。现对弹簧的另一端施加一个拉力，关于拉力做功（或弹簧克服拉力做功）与弹性势能变化的关系，以下说法中正确的是（ ）
A. 拉力对弹簧做正功，弹簧的弹性势能增加
B. 拉力对弹簧做正功，弹簧的弹性势能削减
C. 弹簧克服拉力做功。弹簧的弹性势能增加
D. 弹簧克服拉力做功，弹簧的弹性势能削减
4. 弹性势能的表达式可能与哪些物理量有关？并说说你猜想的理由。
5. 用拉力将弹簧拉伸长度l，如何计算拉力所做的功？
图4
F
6. 如何计算上问中各小段拉力做功的求和式？
7. 如图4所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水平面上。现用外力缓慢推动物块，将弹簧压缩了长度l，试用图象法求在此过程中外力所做的功。
图5
m
8. 两弹簧的劲度系数之比为1︰2，在弹性限度内的形变量之比为2︰1，则它们的弹性势能之比为（ ）
A. 1︰2   B. 2︰1   C. 1︰4   D. 4︰1
9. 如图5所示，轻质弹簧直立在水平地面上，将质量为m的物块轻轻地放在弹簧上，达到稳定状态时弹簧被压缩了l，则此时弹簧具有的弹性势能为多大？
图6
F
10. 如图6所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水平面上。现用外力缓慢拉动物块，使物块移动了距离l，在此过程中外力所做的功为W，则弹簧的劲度系数为多大？
参考答案
1. AD 2. B 3. AC
4. 参阅本节“理解领悟”3。
5. 参阅本节“理解领悟”5。
F
O
l
F
l
图7
6. 参阅本节“理解领悟”6。
7. 外力F与弹簧的压缩量l成正比，故在F—l图象中是一条倾斜直线，如图7所示，直线下的三角形面积表示外力F所做功W的大小，故
 。