《最高考系列》2021届高考数学总复习课时训练：第9章-平面解析几何第2课时-直线的方程-.docx

第九章　平面解析几何第2课时　直线的方程

1. 直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为________．
答案：(0，3)
解析：∵ l1∥l2，且l1斜率为2，∴ l2的斜率为2.又l2过(－1，1)，∴ l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0，3)．
2. 直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、其次、第四象限，则a、b、c应满足的关系式为________．
答案：>0，<0(或ab>0，bc<0)
解析：由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.
3. 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为________．
答案：y＝－x＋
解析：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.
4. 过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．
答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝0
解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为＋＝1，将点(－2，3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1.综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0.
5. 直线l的斜率为，l与坐标轴围成的三角形周长是12，则l的方程为________________．
答案：3x－4y＋12＝0或3x－4y－12＝0
解析：l：y＝x＋b，
∴|b|＋|b|＋|b|＝12，∴|b|＝3，
∴l的方程为3x－4y＋12＝0或3x－4y－12＝0.
6. 已知过点(0，1)的直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝________．
答案：1
解析：依题意得，tanα＝2，tanβ＝－，故tan(α＋β)＝＝＝1.

7. 若过点P(1－a，1＋a)与Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
答案：(－2，1)
解析：k＝tanα＝＝.∵ α为钝角，∴ ＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，故－2＜a＜1.
8. 过点P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，则这条直线的方程为____________．
答案：2x＋y－6＝0
解析：设所求的直线方程为y－4＝k(x－1)，明显k<0.直线在x轴、y轴上的截距分别为1－、4－k.由于1－>0，且4－k>0可得k<0.直线在两坐标轴上的截距之和为S＝＋(4－k)＝5＋(－k)＋≥5＋4＝9，当且仅当－k＝－，即k＝－2时，S最小值为9.故所求直线方程为y－4＝－2(x－1)，即2x＋y－6＝0.
9. 已知△ABC的三个顶点为A(2，8)、B(－4，0)、C(6，0)，求过点B且将△ABC面积平分的直线方程．
解：AC中点D的坐标D(4，4)，则直线BD即为所求，由直线方程的两点式得＝，即x－2y＋4＝0.
10. 如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．

解：由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，所以AB的中点C.
由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
11. 在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7，3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N 在x轴上. 求：
(1) 点C的坐标；
(2) 直线AB的方程；
(3) 直线MN的方程；
(4) 直线AB与两坐标轴围成三角形的面积．
解：(1) 设点C(x，y)，则解得
∴ C(－5，－3)．
(2) ∵ kAB＝＝，∴ 直线AB的方程为y＋2＝(x－5)，即5x－2y－29＝0.
(3) M，N(1，0)，∴ 直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0.
(4) 由(2)知直线AB的方程为5x－2y－29＝0，令x＝0，则y＝－；令y＝0，则x＝.∴ 直线AB与两坐标轴围成三角形的面积S＝××＝ .
12. 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1) 求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2) 为使直线l不经过其次象限，求a的取值范围．
(1) 证明：将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，∴ 直线l的斜率为a，且过定点A(，)，

而点A在第一象限，∴ 直线l恒过第一象限．
(2) 解：要使直线l不经过其次象限，则直线l所在的区域介于AO和AB之间，如图，包含直线AO，但不包含直线AB.∴ a≥3.