2021高考数学(文理通用)一轮课时作业32-基本不等式.docx
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1、温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调整合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十二)基本不等式(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2021杭州模拟)若a,bR且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a+b2abB.1a+1b2abC.ba+ab2D.a2+b22ab【解析】选C.由于ab0,所以ba0,ab0.由基本不等式得ba+ab2,当且仅当ba=ab,即a=b时等号成立.故选C.【加固训练】设0ab,则下列不等式中正确的是()A.ababa+b2B.aaba+b2bC.aabba+b2D.abaa+
2、b2b【解析】选B.方法一:令a=1,b=4,则ab=2,a+b2=52,所以aaba+b2b.方法二:由于0ab,所以a2ab,所以aab,a+b2b,所以a+b2b,所以aaba+b2b.2.(2021韶关模拟)若a1,则a+1a-1的最大值是()A.3B.aC.-1D.2aa-1【解析】选C.由于a1,所以a-10时,函数f(x)=2xx2+1有()A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值2【思路点拨】利用x0将函数分子、分母同除以x后利用基本不等式可解.【解析】选B.由x0得f(x)=2xx2+1=2x+1x22x1x=1,等号成立条件是x=1.4.圆x2+y2+2x-4y+1=
3、0关于直线2ax-by+2=0(a,bR)对称,则ab的取值范围是()A.-,14B.0,14C.-14,0D.-,14【思路点拨】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故aba+b22=14.5.(2021台州模拟)已知a0,b0,且2是2a与b的等差中项,则1ab的最小值为()A.14B.12C.2D.4【解析】选B.由已知可得2a+b=4,因此422ab,所以00,b0,a+b=2,则1a+4b的最小值是()A.72B.4C.92D.5【解析】选C.由已知可得1a+4b=a+b21a+4b=12
4、+2ab+b2a+252+22abb2a=92,当且仅当a=23,b=43时取等号,即1a+4b的最小值是92.7.若a0,b0,且a+b=1,则ab+1ab的最小值为()A.2B.4C.174D.22【思路点拨】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.【解析】选C.由a+b=1,a0,b0得2aba+b=1,所以ab12,所以ab14.令ab=t,则0t14,则ab+1ab=t+1t,结合函数的图象可知y=t+1t在(0,14上单调递减,故当t=14时,t+1t有最小值为14+4=174.8.(2022浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值
5、是()A.245B.285C.5D.6【解析】选C.由x+3y=5xy可得15y+35x=1,所以3x+4y=(3x+4y)15y+35x=95+45+3x5y+12y5x135+23x5y12y5x=135+125=5,当且仅当x=1,y=12时取等号,故3x+4y的最小值是5.【误区警示】本题在求解中简洁毁灭的错误是:对x+3y运用基本不等式得到xy的范围,再对3x+4y运用基本不等式,然后通过不等式的传递性得到3x+4y的最值,忽视了基本不等式中等号成立的条件,没有留意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不全都,从而导致错误.【方法技巧】妙用“1”的代换求代数式的最值在求解含有两个变量的
6、代数式的最值问题时,通常的解决方法是变量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子的值为常数,然后将欲求最值的代数式乘上常数,再对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最值.二、填空题(每小题5分,共20分)9.已知x54,则函数y=4x-2+14x-5的最大值为.【解析】由于x0,所以y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3-2+3=1,当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.答案:110.(2021济南模拟)若点A(1,1)在直线mx+ny-2=0上,其中mn0,则1m+1n的最小值为.【解析】由于点A(1,1)在直线mx+
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