高中数学(北师大版)必修五教案：1.1-拓展资料：斐波那契数列.docx

斐波那契数列
　　每一对兔子过了诞生第一个月之后，每个月生一对小兔子。现把一对初生小兔子放在屋内，问一年后屋内有多少对兔子？
　　先不在这里考虑兔子能否长大，或是某些月份没有生小兔子一类的问题，完全只由数学角度去考虑这问题，意大利数学家斐波那契(Fibonacci)解了这个题目，其内容大约是这样的：
　　在第一个月时，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成熟了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对兔子。再过多一个月，成熟的兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大，有三对小兔子。如此推算下去，我们便发觉一个规律：
时间(月)
初生兔子(对)
成熟兔子(对)
兔子总数(对)
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
4
1
2
3
5
2
3
5
6
3
5
8
不难发觉，每个月成熟兔子的数目是上个月的兔子总数，而初生兔子的数目是上个月成熟兔子的数目，也即是两个月前的兔子总数，因此每个月的兔子总数刚好是上个月和两个月前的的兔子总数之和。由此可得每个月的兔子总数是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23, 377...，由此可知一年后有 377 对兔子。　　
若把上述数列连续写下去，得到的数列便称为斐波那契数列，数列中每个数便是前两个数之和，而数列的最初两个数都是 1。若果设 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13... 则成立这个关系式：当 n 大于 1，Fn+2=Fn+1+ Fn，而 F0=F1=1。下面是一个奇异的式子：
　　 …(1)
　　Fn看似是无理数，但当 n 是非负整数时，Fn都是整数，而且组成斐波那契数列，由于F0=F1=1，并且Fn+2=Fn+1+ Fn，这可用数学归纳法来证明。
利用斐波那契数列解决兔子数目的问题好像没有甚么用途，由于不能保证兔子真的每月只生一对小兔子一类的问题，但事实上这个数列的应用格外广泛。例如一个走梯级的问题，若某人走上一段梯级，他每一步可以走上一级，或是跳过一级而走到其次级，若他要走上六级，有多少个不同走法？我们可以考虑，若果设 Fn是走 n 级梯级的走法的数目，若他在第n级，他可以走到第 n-1 级，或是跳过第n-1级，走到第 n-2 级，他在第 n-1 级有 Fn-1个走法，而在第 n-2 级有 Fn-2个走法，因此在第n级时的走法是 Fn-2+Fn-1个走法，即 Fn=Fn-2+Fn-1，而他在其次级和第三级的走法分别有 1 个和 2 个，因此可知走法的数目与斐波那契数列有关。
　　我们还可以利用斐波那契数列来做出一个新的数列，方法是把数列中相邻的数字相除，以组成新的数列如下：

　　从(1)中可知当 n 无限增大时，数列的极限是

　　这个数值称为黄金分割，它正好是方程 x2+x-1=0 的一个根。